Математический анализ Примеры

$\int \frac{20}{{(5 x - 9)}^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 5 x - 9$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 5 x - 9$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем.

$\frac{5}{1}$

Этап 1.1.2

Разделим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{4}{u^{2}} d u$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \int u^{- 2} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$4 (- u^{- 1} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $4 (- u^{- 1} + C)$ в виде $4 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$4 (- \frac{1}{u}) + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \frac{1}{u} + C$

Этап 5.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 4}{u} + C$

Этап 5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $5 x - 9$ .

$- \frac{4}{5 x - 9} + C$