Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 1

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Этап 1.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.5.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 1.5.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 1.5.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 1.5.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 1.5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 1.5.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 1.5.3.6.5

Найдем экспоненту.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.5.4.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{\sqrt{2}} u d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{\sqrt{2}}$

Этап 3

Упростим путем сокращения экспоненты с радикалом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{2} u^{2}$ в $\sqrt{2}$ и в $1$ .

$(\frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot 2^{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 1}{2}$

Этап 3.3.3.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$