Математический анализ Примеры

$y = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (4 (x^{2} + 1) x) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x)}{x^{4}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} (4 x^{2} + 4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x^{3} x^{2} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} x^{3}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{2 + 3} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.2.3

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{3} \cdot 4 - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.4

Перенесем $4$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot x^{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.5

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.6

Развернем $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.7.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.7.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.7.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.7.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.7.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.7.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.7.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.9.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.9.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.11.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.11.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.11.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.11.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.11.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.11.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.11.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.11.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.1.11.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вычтем $4 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} + 0 - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.2.2

Добавим $4 x^{5} - 2 x^{5}$ и $0$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.3.3

Вычтем $2 x^{5}$ из $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Этап 9.4.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)}{2 x^{4}}$

Этап 9.4.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 1)}{2 x^{4}}$

Этап 9.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1)}{2 x^{4}}$

Этап 9.4.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})}{2 x^{4}}$

Этап 9.4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{2 x^{4}}$

Этап 9.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{2 x^{4}}$

Этап 9.4.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{2 x^{4}}$

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

Этап 9.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)}{x^{4}}$

Этап 9.6

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Вынесем множитель $x$ из $((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)$ .

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x^{4}}$

Этап 9.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 9.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 9.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1)}{x^{3}}$

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{3}}$