Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{4} (2 e^{- 3 x} - 3 e^{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} - 3 e^{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- 3}^{4} e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Этап 4

Пусть $u = - 3 x$ . Тогда $d u = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 3 x$ .

$u_{lower} = - 3 \cdot - 3$

Этап 4.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$u_{lower} = 9$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 3 x$ .

$u_{upper} = - 3 \cdot 4$

Этап 4.5

Умножим $- 3$ на $4$ .

$u_{upper} = - 12$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = - 12$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Этап 5.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{9}^{- 12} - \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{1}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Этап 9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Этап 11

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 \int_{- 3}^{4} e^{x} d x$

Этап 12

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- 12$ и в $9$ .

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

Этап 13.2

Найдем значение $e^{x}$ в $4$ и в $- 3$ .

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 ((e^{4}) - e^{- 3})$

Этап 13.3

Избавимся от скобок.

$- \frac{2}{3} (e^{- 12} - e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2}{3} e^{- 12} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Этап 14.1.2

Объединим $e^{- 12}$ и $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Этап 14.1.3

Умножим $- \frac{2}{3} (- e^{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + 1 (\frac{2}{3}) e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Этап 14.1.3.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2}{3} e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Этап 14.1.3.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $e^{9}$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Этап 14.1.4

Перенесем $e^{- 12}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Этап 14.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} - 3 (- e^{- 3})$

Этап 14.1.6

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 e^{- 3}$

Этап 14.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 \frac{1}{e^{3}}$

Этап 14.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{e^{3}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

Десятичная форма:

$5238.41085872 \dots$

Этап 16