Математический анализ Примеры

$3 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} + 2 x y + y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 2 x y + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 x^{2}$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$6 x x' + 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y$ .

$6 x x' + 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x x' + 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$6 x x' + 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$6 x x' + 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x x' + 2 (x + y x') + 2 y$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x x' + 2 x + 2 (y x') + 2 y$

Этап 2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 x x' + 2 x + 2 y x' + 2 y$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$6 x x' + 2 y x' + 2 x + 2 y$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$6 x x' + 2 y x' + 2 x + 2 y = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$6 x x' + 2 y x' + 2 y = - 2 x$

Этап 5.1.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$6 x x' + 2 y x' = - 2 x - 2 y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 x'$ из $6 x x' + 2 y x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 x'$ из $6 x x'$ .

$2 x' (3 x) + 2 y x' = - 2 x - 2 y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 y x'$ .

$2 x' (3 x) + 2 x' y = - 2 x - 2 y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 x' (3 x) + 2 x' y$ .

$2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$ на $2 (3 x + y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$ на $2 (3 x + y)$ .

$\frac{2 x' (3 x + y)}{2 (3 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x' (3 x + y)}{2 (3 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (3 x + y)}{3 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $3 x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (3 x + y)}{3 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$x' = \frac{2 (- x)}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2 (- x)}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{- x}{3 x + y} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{2 (- y)}{2 (3 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{2 (- y)}{2 (3 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{- y}{3 x + y}$

Этап 5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} - \frac{y}{3 x + y}$

Этап 5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- x - y}{3 x + y}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$x' = \frac{- (x) - y}{3 x + y}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$x' = \frac{- (x) - (y)}{3 x + y}$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (y)$ .

$x' = \frac{- (x + y)}{3 x + y}$

Этап 5.3.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.5.1

Перепишем $- (x + y)$ в виде $- 1 (x + y)$ .

$x' = \frac{- 1 (x + y)}{3 x + y}$

Этап 5.3.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x + y}{3 x + y}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x + y}{3 x + y}$