Математический анализ Примеры

$\int \frac{t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Этап 1

Разделим $t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1$ на $t^{2} + 3 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $t^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $t^{2}$ .

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $t^{3} + 3 t^{2} + 0$ .

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 t^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $t^{2}$ .

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 t^{2} + 6 t + 0$ .

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

$t$

$1$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int t + 2 + \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int t d t + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Этап 3

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Этап 5

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} + 3 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{t + 1}{t \cdot t + 3 t}$

Этап 5.1.1.2

Вынесем множитель $t$ из $3 t$ .

$\frac{t + 1}{t \cdot t + t \cdot 3}$

Этап 5.1.1.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t + t \cdot 3$ .

$\frac{t + 1}{t (t + 3)}$

Этап 5.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$

Этап 5.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $t (t + 3)$ .

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Этап 5.1.4

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Этап 5.1.5

Сократим общий множитель $t + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Этап 5.1.5.2

Разделим $t + 1$ на $1$ .

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Этап 5.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Этап 5.1.6.1.2

Разделим $A (t + 3)$ на $1$ .

$t + 1 = A (t + 3) + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Этап 5.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$t + 1 = A t + A \cdot 3 + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Этап 5.1.6.3

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$t + 1 = A t + 3 \cdot A + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Этап 5.1.6.4

Сократим общий множитель $t + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$t + 1 = A t + 3 A + \frac{B (t (t + 3))}{t + 3}$

Этап 5.1.6.4.2

Разделим $(B) (t)$ на $1$ .

$t + 1 = A t + 3 A + (B) (t)$

$t + 1 = A t + 3 A + B t$

Этап 5.1.7

Перенесем $3 A$ .

$t + 1 = A t + B t + 3 A$

Этап 5.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 5.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $t$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 3 A$

Этап 5.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

Этап 5.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = 3 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$1 = A + B$

Этап 5.3.1.2

Разделим каждый член $3 A = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Разделим каждый член $3 A = 1$ на $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Этап 5.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Этап 5.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Этап 5.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = A + B$ на $\frac{1}{3}$ .

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

Этап 5.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = \frac{1}{3} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3} + B = 1$ .

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вычтем $\frac{1}{3}$ из обеих частей уравнения.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.2.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Этап 5.3.4

Решим систему уравнений.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3}$

Этап 5.3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

Этап 5.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Этап 5.5.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{3 t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Этап 5.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{3 t} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t + 3}$

Этап 5.5.4

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{t + 3}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} + \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Этап 9

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{t + 3} d t$

Этап 10

Пусть $u = t + 3$ . Тогда $d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = t + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [t + 3]$

Этап 10.1.2

По правилу суммы производная $t + 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [3]$

Этап 10.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 10.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

Этап 12

Упростим.

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $t + 3$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| t + 3 |) + C$