Математический анализ Примеры

Объединим ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ и ${\displaystyle x}$.

Поскольку ${\displaystyle 8}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 8\cos (\frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2})}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 8\frac{d}{dx}\left[\cos (\frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2})\right]}$.

Чтобы применить цепное правило, зададим ${\displaystyle u}$ как ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2}}$.

Производная ${\displaystyle \cos \left(u\right)}$ по ${\displaystyle u}$ равна ${\displaystyle -\sin \left(u\right)}$.

Заменим все вхождения ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2}}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 8}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2}}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{\pi x}{4}\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{\pi }{2}]}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{\pi }{4}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{\pi }{2}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{\pi }{2}}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Упростим члены.

Чтобы применить цепное правило, зададим ${\displaystyle u}$ как ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2}}$.

Производная ${\displaystyle \sin \left(u\right)}$ по ${\displaystyle u}$ равна ${\displaystyle \cos \left(u\right)}$.

Заменим все вхождения ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2}}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2}}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{\pi x}{4}\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{\pi }{2}]}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{\pi x}{4}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{\pi }{4}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{\pi }{2}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{\pi }{2}}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Объединим дроби.

Вынесем множитель ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle -2{\pi }^2\cos (\frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{2})}$.

Сократим общие множители.

Сократим общий множитель ${\displaystyle -2}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle \pi }$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle -2}$.

Разделим ${\displaystyle 0}$ на ${\displaystyle -\pi }$.

Упростим ${\displaystyle \frac{4}{\pi }\cdot \frac{\pi x}{4}}$.

Упростим ${\displaystyle \frac{4}{\pi }\cdot \frac{\pi }{2}}$.

Добавим ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ к обеим частям уравнения.

Чтобы записать ${\displaystyle \pi }$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Упростим левую часть.

Упростим правую часть.

Вынесем множитель ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle \pi \left(2\right)}$.

Сократим общие множители.

Объединим числители над общим знаменателем.

Вычтем ${\displaystyle \pi }$ из ${\displaystyle \pi }$.

Разделим ${\displaystyle 0}$ на ${\displaystyle 2}$.

Точное значение ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$: ${\displaystyle 1}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle 2}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Вычтем ${\displaystyle \pi }$ из ${\displaystyle \pi }$.

Разделим ${\displaystyle 0}$ на ${\displaystyle 2}$.

Точное значение ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$: ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle 8}$ на ${\displaystyle 1}$.

Окончательный ответ: ${\displaystyle 8}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle \pi \left(6\right)}$.

Сократим общие множители.

Объединим числители над общим знаменателем.

Перенесем ${\displaystyle 3}$ влево от ${\displaystyle \pi }$.

Вычтем ${\displaystyle \pi }$ из ${\displaystyle 3\pi }$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle 2}$.

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

Точное значение ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$: ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 1}$.

Перенесем ${\displaystyle -1}$ влево от ${\displaystyle {\pi }^2}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Упростим каждый член.

Упростим члены.

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.