Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} (x + 1)} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 4.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{1 (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.1.2

Разделим $A (x + 1)$ на $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A x + A + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Вынесем множитель $x$ из $B (x^{2} (x + 1))$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.4.2.3

Сократим общий множитель.

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.4.2.4

Перепишем это выражение.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.4.2.5

Разделим $B (x (x + 1))$ на $1$ .

$1 = A x + A + B (x (x + 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.6

Умножим $x$ на $x$ .

$1 = A x + A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.7

Умножим $x$ на $1$ .

$1 = A x + A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.9

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.9.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{C (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 4.1.5.9.2

Разделим $(C) (x^{2})$ на $1$ .

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + (C) (x^{2})$

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Этап 4.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Этап 4.1.6.2

Перенесем $A$ .

$1 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} + A$

Этап 4.1.6.3

Перенесем $B x$ .

$1 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x + A$

Этап 4.1.6.4

Перенесем $A x$ .

$1 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x + A$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B + C$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 4.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 4.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B + C$

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = B + C$

$0 = A + B$

$1 = A$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = A + B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = B + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = B + C$

Этап 4.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = B + C$ на $- 1$ .

$0 = (- 1) + C$

$B = - 1$

$A = 1$

Этап 4.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

Этап 4.3.5

Решим относительно $C$ в $0 = - 1 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + C = 0$ .

$- 1 + C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

Этап 4.3.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Этап 4.3.6

Решим систему уравнений.

$C = 1 B = - 1 A = 1$

Этап 4.3.7

Перечислим все решения.

$C = 1, B = - 1, A = 1$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 10

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 10.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 10.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 10.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Этап 12

Упростим.

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| x + 1 |) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| x + 1 |) + C$