Математический анализ Примеры

Применим основные правила для показателей степени.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=1+x^{\frac{1}{2}}}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 1+x^{\frac{1}{2}}}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[1\right]+\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Поскольку ${\displaystyle 1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Добавим ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}}$ и ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Умножим ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ на ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$, сложив экспоненты.

Упростим ${\displaystyle x^0}$.

Чтобы записать ${\displaystyle (1+x^{\frac{1}{2}})\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle (1+x^{\frac{1}{2}})\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Объединим ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}}$.

Сократим общий множитель.

Перепишем это выражение.

Перепишем ${\displaystyle \frac{\frac{(1+x^{\frac{1}{2}})\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}-1}{2}}{{(1+x^{\frac{1}{2}})}^2}}$ в виде произведения.

Умножим ${\displaystyle \frac{(1+x^{\frac{1}{2}})\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}-1}{2}}$ на ${\displaystyle \frac{1}{{(1+x^{\frac{1}{2}})}^2}}$.

Упростим.

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}{(1+x^{\frac{1}{2}})}^2}$.

Объединим дроби.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(1+x^{\frac{1}{2}})}^2}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=1+x^{\frac{1}{2}}}$.

Продифференцируем.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.