Математический анализ Примеры

$\frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

Этап 1

Запишем $\frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \frac{1}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Этап 5

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{{(2 (1) - 8 x)}^{3}}$

Этап 5.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x$ .

$\frac{1}{{(2 (1) + 2 (- 4 x))}^{3}}$

Этап 5.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{1}{{(2 (1 - 4 x))}^{3}}$

Этап 5.1.1.2

Применим правило умножения к $2 (1 - 4 x)$ .

$\frac{1}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}}$

Этап 5.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}}$

Этап 5.1.3

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Этап 5.1.4

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.5

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}$ .

$\frac{1 (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.6

Сократим общий множитель $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 ({(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.7

Сократим общий множитель ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 {(1 - 4 x)}^{3}}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.7.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Сократим общий множитель ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.1.2

Разделим $(A) \cdot (2^{3})$ на $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{3}) + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$1 = A \cdot 8 + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.3

Перенесем $8$ влево от $A$ .

$1 = 8 \cdot A + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.4

Сократим общий множитель ${(1 - 4 x)}^{3}$ и ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.4.1

Вынесем множитель ${(1 - 4 x)}^{2}$ из $(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ .

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.4.2.1

Умножим на $1$ .

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.4.2.2

Сократим общий множитель.

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.4.2.3

Перепишем это выражение.

$1 = 8 A + \frac{B (2^{3} (1 - 4 x))}{1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.4.2.4

Разделим $B (2^{3} (1 - 4 x))$ на $1$ .

$1 = 8 A + B (2^{3} (1 - 4 x)) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 8 A + 2^{3} B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$1 = 8 A + 8 B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.7

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 8 A + 8 B \cdot 1 + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.8

Умножим $8$ на $1$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 8 A + 8 B + 8 \cdot (- 4 B x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.10

Умножим $8$ на $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.11

Сократим общий множитель ${(1 - 4 x)}^{3}$ и $1 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.11.1

Вынесем множитель $1 - 4 x$ из $(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{1 - 4 x}$

Этап 5.1.8.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.11.2.1

Умножим на $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Этап 5.1.8.11.2.2

Сократим общий множитель.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Этап 5.1.8.11.2.3

Перепишем это выражение.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})}{1}$

Этап 5.1.8.11.2.4

Разделим $C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$ на $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$

Этап 5.1.8.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 2^{3} C {(1 - 4 x)}^{2}$

Этап 5.1.8.13

Возведем $2$ в степень $3$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C {(1 - 4 x)}^{2}$

Этап 5.1.8.14

Перепишем ${(1 - 4 x)}^{2}$ в виде $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C ((1 - 4 x) (1 - 4 x))$

Этап 5.1.8.15

Развернем $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Этап 5.1.8.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Этап 5.1.8.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Этап 5.1.8.16

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.16.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Этап 5.1.8.16.1.2

Умножим $- 4 x$ на $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Этап 5.1.8.16.1.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 x (- 4 x))$

Этап 5.1.8.16.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x \cdot x))$

Этап 5.1.8.16.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.16.1.5.1

Перенесем $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)))$

Этап 5.1.8.16.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x^{2}))$

Этап 5.1.8.16.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2})$

Этап 5.1.8.16.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 8 x + 16 x^{2})$

Этап 5.1.8.17

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C \cdot 1 + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Этап 5.1.8.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.18.1

Умножим $8$ на $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Этап 5.1.8.18.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 C (16 x^{2})$

Этап 5.1.8.18.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Этап 5.1.8.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.19.1

Умножим $8$ на $- 8$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Этап 5.1.8.19.2

Умножим $8$ на $16$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Этап 5.1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Перенесем $B$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Этап 5.1.9.2

Перенесем $8 C$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 C$

Этап 5.1.9.3

Перенесем $8 B$ .

$1 = 8 A - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 B + 8 C$

Этап 5.1.9.4

Перенесем $8 A$ .

$1 = - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.1.9.5

Перенесем $- 64 C x$ .

$1 = - 32 x B + 128 C x^{2} - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.1.9.6

Изменим порядок $- 32 x B$ и $128 C x^{2}$ .

$1 = 128 C x^{2} - 32 x B - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 128 C$

Этап 5.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 32 B - 64 C$

Этап 5.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Решим относительно $C$ в $0 = 128 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $128 C = 0$ .

$128 C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.3.1.2

Разделим каждый член $128 C = 0$ на $128$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Разделим каждый член $128 C = 0$ на $128$ .

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.3.1.2.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.1

Разделим $0$ на $128$ .

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.3.2

Заменим все вхождения $C$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Заменим все вхождения $C$ в $0 = - 32 B - 64 C$ на $0$ .

$0 = - 32 B - 64 \cdot 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Упростим $- 32 B - 64 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Умножим $- 64$ на $0$ .

$0 = - 32 B + 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.3.2.2.1.2

Добавим $- 32 B$ и $0$ .

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Этап 5.3.2.3

Заменим все вхождения $C$ в $1 = 8 A + 8 B + 8 C$ на $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 (0)$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Этап 5.3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Упростим $8 A + 8 B + 8 (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1.1

Умножим $8$ на $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 0$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Этап 5.3.2.4.1.2

Добавим $8 A + 8 B$ и $0$ .

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Этап 5.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 32 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 32 B = 0$ .

$- 32 B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Этап 5.3.3.2

Разделим каждый член $- 32 B = 0$ на $- 32$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 32 B = 0$ на $- 32$ .

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Этап 5.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Этап 5.3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Этап 5.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.3.1

Разделим $0$ на $- 32$ .

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Этап 5.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $1 = 8 A + 8 B$ на $0$ .

$1 = 8 A + 8 (0)$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 5.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Упростим $8 A + 8 (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1

Умножим $8$ на $0$ .

$1 = 8 A + 0$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 5.3.4.2.1.2

Добавим $8 A$ и $0$ .

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 5.3.5

Решим относительно $A$ в $1 = 8 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $8 A = 1$ .

$8 A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 5.3.5.2

Разделим каждый член $8 A = 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Разделим каждый член $8 A = 1$ на $8$ .

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 5.3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 5.3.5.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 5.3.6

Решим систему уравнений.

$A = \frac{1}{8} B = 0 C = 0$

Этап 5.3.7

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{8}, B = 0, C = 0$

Этап 5.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{\frac{1}{8}}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Этап 5.5.2

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Этап 5.5.3

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Этап 5.5.4

Разделим $0$ на ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + \frac{0}{1 - 4 x}$

Этап 5.5.5

Разделим $0$ на $1 - 4 x$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + 0$

Этап 5.5.6

Удалим ноль из выражения.

$5 \int \frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x)$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{8}$ и $5$ .

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Этап 8

Пусть $u = 1 - 4 x$ . Тогда $d u = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = 1 - 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Этап 8.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 8.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 8.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Этап 8.1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$0 - 4$

Этап 8.1.4

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{4}) d u$

Этап 9.2

Умножим $\frac{1}{u^{3}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Этап 9.3

Перенесем $4$ влево от $u^{3}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{8} (- \int \frac{1}{4 u^{3}} d u)$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{8} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u))$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $\frac{5}{8}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{5}{8 \cdot 4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 12.1.2

Умножим $8$ на $4$ .

$- \frac{5}{32} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 12.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вынесем $u^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{5}{32} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Этап 12.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Этап 12.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{- 3} d u$

Этап 13

По правилу степени интеграл $u^{- 3}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перепишем $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ в виде $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Этап 14.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Этап 14.2.2

Перенесем $2$ влево от $u^{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Этап 14.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{5}{32}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Этап 14.2.4

Умножим $\frac{5}{32}$ на $1$ .

$\frac{5}{32} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Этап 14.2.5

Умножим $\frac{5}{32}$ на $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{5}{32 (2 u^{2})} + C$

Этап 14.2.6

Умножим $2$ на $32$ .

$\frac{5}{64 u^{2}} + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 4 x$ .

$\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$