Математический анализ Примеры

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2}{n + 3} - \frac{3}{n + 2}}{n + 5}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{2}{n + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{n + 2}{n + 2}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2}{n + 3} \cdot \frac{n + 2}{n + 2} - \frac{3}{n + 2}}{n + 5}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{3}{n + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{n + 3}{n + 3}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2}{n + 3} \cdot \frac{n + 2}{n + 2} - \frac{3}{n + 2} \cdot \frac{n + 3}{n + 3}}{n + 5}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(n + 3) (n + 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{2}{n + 3}$ на $\frac{n + 2}{n + 2}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2)}{(n + 3) (n + 2)} - \frac{3}{n + 2} \cdot \frac{n + 3}{n + 3}}{n + 5}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{3}{n + 2}$ на $\frac{n + 3}{n + 3}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2)}{(n + 3) (n + 2)} - \frac{3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}}{n + 5}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(n + 3) (n + 2)$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2)}{(n + 2) (n + 3)} - \frac{3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}}{n + 5}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}}{n + 5}$

Этап 2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)} \cdot \frac{1}{n + 5}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}$ на $\frac{1}{n + 5}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{n \to - 5} 2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $- 5$ .

$\frac{lim_{n \to - 5} 2 (n + 2) - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to - 5} n + 2 - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $- 5$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 2) - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $- 5$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - 3 lim_{n \to - 5} n + 3}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $- 5$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - 3 (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $n$ к $- 5$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - 3 (lim_{n \to - 5} n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $- 5$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $- 5$ для $n$ .

$\frac{2 (- 5 + 2) - 3 (lim_{n \to - 5} n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.8.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $- 5$ для $n$ .

$\frac{2 (- 5 + 2) - 3 (- 5 + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.9.1.1

Добавим $- 5$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3 - 3 (- 5 + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.9.1.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{- 6 - 3 (- 5 + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.9.1.3

Добавим $- 5$ и $3$ .

$\frac{- 6 - 3 \cdot - 2}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.9.1.4

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.2.9.2

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{0}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $- 5$ .

$\frac{0}{lim_{n \to - 5} n + 2 \cdot lim_{n \to - 5} n + 3 \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 2) \cdot lim_{n \to - 5} n + 3 \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Этап 3.1.3.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot lim_{n \to - 5} n + 3 \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Этап 3.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 3) \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Этап 3.1.3.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $n$ к $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Этап 3.1.3.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 5)}$

Этап 3.1.3.7

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $n$ к $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 5)}$

Этап 3.1.3.8

Найдем значения пределов, подставив значение $- 5$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $- 5$ для $n$ .

$\frac{0}{(- 5 + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 5)}$

Этап 3.1.3.8.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $- 5$ для $n$ .

$\frac{0}{(- 5 + 2) \cdot (- 5 + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 5)}$

Этап 3.1.3.8.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $- 5$ для $n$ .

$\frac{0}{(- 5 + 2) \cdot (- 5 + 3) \cdot (- 5 + 5)}$

Этап 3.1.3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.9.1

Добавим $- 5$ и $2$ .

$\frac{0}{- 3 \cdot (- 5 + 3) \cdot (- 5 + 5)}$

Этап 3.1.3.9.2

Добавим $- 5$ и $3$ .

$\frac{0}{- 3 \cdot - 2 \cdot (- 5 + 5)}$

Этап 3.1.3.9.3

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\frac{0}{6 \cdot (- 5 + 5)}$

Этап 3.1.3.9.4

Добавим $- 5$ и $5$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0}$

Этап 3.1.3.9.5

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.9.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.10

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3) (n + 5)} = lim_{n \to - 5} \frac{\frac{d}{d n} [2 (n + 2) - 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{d}{d n} [2 (n + 2) - 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 (n + 2) - 3 (n + 3)$ по $n$ имеет вид $\frac{d}{d n} [2 (n + 2)] + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{d}{d n} [2 (n + 2)] + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d n} [2 (n + 2)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $n$ , производная $2 (n + 2)$ по $n$ равна $2 \frac{d}{d n} [n + 2]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 \frac{d}{d n} [n + 2] + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.3.2

По правилу суммы производная $n + 2$ по $n$ имеет вид $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]) + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ имеет вид $n \cdot n^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (1 + \frac{d}{d n} [2]) + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $n$ , производная $2$ относительно $n$ равна $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (1 + 0) + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $n$ , производная $- 3 (n + 3)$ по $n$ равна $- 3 \frac{d}{d n} [n + 3]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 \frac{d}{d n} [n + 3]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.4.2

По правилу суммы производная $n + 3$ по $n$ имеет вид $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3])}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.4.3

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 (1 + \frac{d}{d n} [3])}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.4.4

Поскольку $3$ является константой относительно $n$ , производная $3$ относительно $n$ равна $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.4.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.4.6

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.5

Вычтем $3$ из $2$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ имеет вид $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ , где $f (n) = (n + 2) (n + 3)$ и $g (n) = n + 5$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 5] + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Этап 3.3.7

По правилу суммы производная $n + 5$ по $n$ имеет вид $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [5]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [5]) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Этап 3.3.8

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) (1 + \frac{d}{d n} [5]) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $5$ является константой относительно $n$ , производная $5$ относительно $n$ равна $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) (1 + 0) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Этап 3.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) \cdot 1 + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Этап 3.3.11

Умножим $n + 2$ на $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Этап 3.3.12

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) \frac{d}{d n} [n + 3] + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Этап 3.3.13

По правилу суммы производная $n + 3$ по $n$ имеет вид $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3]) + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Этап 3.3.14

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) (1 + \frac{d}{d n} [3]) + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Этап 3.3.15

Поскольку $3$ является константой относительно $n$ , производная $3$ относительно $n$ равна $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) (1 + 0) + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Этап 3.3.16

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) \cdot 1 + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Этап 3.3.17

Умножим $n + 2$ на $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Этап 3.3.18

По правилу суммы производная $n + 2$ по $n$ имеет вид $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]))}$

Этап 3.3.19

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) (1 + \frac{d}{d n} [2]))}$

Этап 3.3.20

Поскольку $2$ является константой относительно $n$ , производная $2$ относительно $n$ равна $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) (1 + 0))}$

Этап 3.3.21

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) \cdot 1)}$

Этап 3.3.22

Умножим $n + 3$ на $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + n + 3)}$

Этап 3.3.23

Добавим $n$ и $n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (2 n + 2 + 3)}$

Этап 3.3.24

Добавим $2$ и $3$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (2 n + 5)}$

Этап 3.3.25

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.25.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) n + (n + 2) \cdot 3 + (n + 5) (2 n + 5)}$

Этап 3.3.25.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + (n + 2) \cdot 3 + (n + 5) (2 n + 5)}$

Этап 3.3.25.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + (n + 5) (2 n + 5)}$

Этап 3.3.25.4

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + (n + 5) (2 n) + (n + 5) \cdot 5}$

Этап 3.3.25.5

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + (n + 5) \cdot 5}$

Этап 3.3.25.6

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.25.7.1

Возведем $n$ в степень $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{1} n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.2

Возведем $n$ в степень $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{1} n^{1} + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{1 + 1} + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.5

Перенесем $3$ влево от $n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 2 n + 3 \cdot n + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.6

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 2 n + 3 n + 6 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.7

Добавим $2 n$ и $3 n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.8

Возведем $n$ в степень $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 (n^{1} n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.9

Возведем $n$ в степень $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 (n^{1} n^{1}) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{1 + 1} + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.11

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.12

Умножим $2$ на $5$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 10 n + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.13

Перенесем $5$ влево от $n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 10 n + 5 \cdot n + 5 \cdot 5}$

Этап 3.3.25.7.14

Умножим $5$ на $5$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 10 n + 5 n + 25}$

Этап 3.3.25.7.15

Добавим $10 n$ и $5 n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 15 n + 25}$

Этап 3.3.25.7.16

Добавим $n^{2}$ и $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{3 n^{2} + 5 n + 6 + 15 n + 25}$

Этап 3.3.25.7.17

Добавим $5 n$ и $15 n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{3 n^{2} + 20 n + 6 + 25}$

Этап 3.3.25.7.18

Добавим $6$ и $25$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{3 n^{2} + 20 n + 31}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $- 5$ .

$\frac{lim_{n \to - 5} - 1}{lim_{n \to - 5} 3 n^{2} + 20 n + 31}$

Этап 4.2

Найдем предел $- 1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $- 5$ .

$\frac{- 1}{lim_{n \to - 5} 3 n^{2} + 20 n + 31}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $- 5$ .

$\frac{- 1}{lim_{n \to - 5} 3 n^{2} + lim_{n \to - 5} 20 n + lim_{n \to - 5} 31}$

Этап 4.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{- 1}{3 lim_{n \to - 5} n^{2} + lim_{n \to - 5} 20 n + lim_{n \to - 5} 31}$

Этап 4.5

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 1}{3 {(lim_{n \to - 5} n)}^{2} + lim_{n \to - 5} 20 n + lim_{n \to - 5} 31}$

Этап 4.6

Вынесем член $20$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{- 1}{3 {(lim_{n \to - 5} n)}^{2} + 20 lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 31}$

Этап 4.7

Найдем предел $31$ , который является константой по мере приближения $n$ к $- 5$ .

$\frac{- 1}{3 {(lim_{n \to - 5} n)}^{2} + 20 lim_{n \to - 5} n + 31}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 5$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $- 5$ для $n$ .

$\frac{- 1}{3 {(- 5)}^{2} + 20 lim_{n \to - 5} n + 31}$

Этап 5.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $- 5$ для $n$ .

$\frac{- 1}{3 {(- 5)}^{2} + 20 \cdot - 5 + 31}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\frac{- 1}{3 \cdot 25 + 20 \cdot - 5 + 31}$

Этап 6.1.2

Умножим $3$ на $25$ .

$\frac{- 1}{75 + 20 \cdot - 5 + 31}$

Этап 6.1.3

Умножим $20$ на $- 5$ .

$\frac{- 1}{75 - 100 + 31}$

Этап 6.1.4

Вычтем $100$ из $75$ .

$\frac{- 1}{- 25 + 31}$

Этап 6.1.5

Добавим $- 25$ и $31$ .

$\frac{- 1}{6}$

Этап 6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{6}$

Десятичная форма:

$- 0.1\overline{6}$