Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$

Этап 1

Составим полный квадрат для $x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Этап 1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{1}$

Этап 1.3.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$d = - 3$

Этап 1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Этап 1.4.2.1.3

Разделим $36$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Этап 1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$e = 0 - 9$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$e = - 9$

Этап 1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Этап 2

Подставим ${(x - 3)}^{2} - 9$ вместо $x^{2} - 6 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} + z^{2} + 4 y - 2 z = 11$

Этап 3

Перенесем $- 9$ в правую часть уравнения, прибавив $9$ к обеим частям.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 y - 2 z = 11 + 9$

Этап 4

Составим полный квадрат для $y^{2} + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Этап 4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 4.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 4.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 4.4.2.1.1.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Этап 5

Подставим ${(y + 2)}^{2} - 4$ вместо $y^{2} + 4 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 11 + 9$

Этап 6

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 11 + 9 + 4$

Этап 7

Составим полный квадрат для $z^{2} - 2 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Этап 7.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 7.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 7.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 7.3.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 7.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 7.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 7.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 7.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 7.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 7.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 7.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(z - 1)}^{2} - 1$ .

${(z - 1)}^{2} - 1$

Этап 8

Подставим ${(z - 1)}^{2} - 1$ вместо $z^{2} - 2 z$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} - 1 = 11 + 9 + 4$

Этап 9

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 11 + 9 + 4 + 1$

Этап 10

Упростим $11 + 9 + 4 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $11$ и $9$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 20 + 4 + 1$

Этап 10.2

Добавим $20$ и $4$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24 + 1$

Этап 10.3

Добавим $24$ и $1$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25$

Этап 11