Математический анализ Примеры

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^5}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x+y}$.

Продифференцируем.

Перепишем ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ в виде ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^3}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ в виде ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Упростим ${\displaystyle 5{(x+y)}^4(1+y\mathrm{<mo>\prime </mo>})}$.

Перенесем все члены с ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ в левую часть уравнения.

Перенесем все члены без ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ в правую часть уравнения.

Вынесем множитель ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ из ${\displaystyle 5y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{x}^4+20y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{x}^{3}y+30y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{x}^2{y}^2+20y\mathrm{<mo>\prime </mo>}x{y}^3+5y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{y}^4-3y^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Разделим каждый член ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}(5x^4+20x^{3}y+30x^2{y}^2+20x{y}^3+5y^4-3y^2)=-5x^4-20x^{3}y-30x^2{y}^2-20x{y}^3-5y^4}$ на ${\displaystyle 5x^4+20x^{3}y+30x^2{y}^2+20x{y}^3+5y^4-3y^2}$ и упростим.