Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 \sqrt{x}}{x^{2} - 2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$

Этап 1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} - 2$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 8.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 9

По правилу суммы производная $x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 11

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 12.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}} x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{1 + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 15.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 15.3

Добавим $2$ и $1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 16

Объединим $4$ и $\frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 ((x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1.1.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.1.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.2

Объединим $x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2) \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.5

Перепишем $- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.6

Умножим $4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.6.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.1.8

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.3.2

Вычтем $8 x^{\frac{3}{2}}$ из $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} - - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4.3

Умножим $- - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4.3.2

Умножим $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4.4

Чтобы записать $3 x^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4.6

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.6.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4.6.4

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{4}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.4.6.5

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{- 2 \frac{3 x^{2} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.5

Объединим $- 2$ и $\frac{3 x^{2} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- 2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 17.8

Умножим $\frac{1}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$ на $\frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{{(x^{2} - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.9

Изменим порядок множителей в $- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{{(x^{2} - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2)}^{2}}$