Математический анализ Примеры

Поскольку ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{5}{7}x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{5}{7}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{1}{10}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{1}{10}{x}^6}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{1}{10}\frac{d}{dx}\left[x^6\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=6}$.

Умножим ${\displaystyle 6}$ на ${\displaystyle -1}$.

Объединим ${\displaystyle -6}$ и ${\displaystyle \frac{1}{10}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{-6}{10}}$ и ${\displaystyle x^5}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle -6}$ и ${\displaystyle 10}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Поскольку ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{1}{6}{x}^{-1}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{1}{6}\frac{d}{dx}\left[x^{-1}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=-1}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ и ${\displaystyle x^{-2}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{1}{10}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{1}{10}{x}^5}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{1}{10}\frac{d}{dx}\left[x^5\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=5}$.

Умножим ${\displaystyle 5}$ на ${\displaystyle -1}$.

Объединим ${\displaystyle -5}$ и ${\displaystyle \frac{1}{10}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{-5}{10}}$ и ${\displaystyle x^4}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle -5}$ и ${\displaystyle 10}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{3}{5}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{3x^5}{5}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{3}{5}\frac{d}{dx}\left[x^5\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=5}$.

Умножим ${\displaystyle 5}$ на ${\displaystyle -1}$.

Объединим ${\displaystyle -5}$ и ${\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Умножим ${\displaystyle -5}$ на ${\displaystyle 3}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{-15}{5}}$ и ${\displaystyle x^4}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle -15}$ и ${\displaystyle 5}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{1}{2}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{x^4}{2}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left[x^4\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=4}$.

Умножим ${\displaystyle 4}$ на ${\displaystyle -1}$.

Объединим ${\displaystyle -4}$ и ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{-4}{2}}$ и ${\displaystyle x^3}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle -4}$ и ${\displaystyle 2}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{1}{6}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{1}{6x^2}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{1}{6}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^2}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-2}}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle -1}$.

Возведем ${\displaystyle x}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Вычтем ${\displaystyle 4}$ из ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle -2}$ на ${\displaystyle -1}$.

Объединим ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{2}{6}}$ и ${\displaystyle x^{-3}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 6}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Добавим ${\displaystyle -3x^4-2x^3+\frac{1}{3x^3}}$ и ${\displaystyle 0}$.

Поскольку ${\displaystyle -3}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -3x^4}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -3\frac{d}{dx}\left[x^4\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=4}$.