Математический анализ Примеры

$2 y^{3} - 2 - x y = 5 x^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} - 2 - x y) = \frac{d}{d x} (5 x^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 y^{3} - 2 - x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$6 y^{2} y' + 0 - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 y^{2} y' + 0 - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 y^{2} y' + 0 - (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.4.5

Умножим $y$ на $1$ .

$6 y^{2} y' + 0 - (x y' + y)$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y^{2} y' + 0 - (x y') - y$

Этап 2.5.2

Добавим $6 y^{2} y'$ и $0$ .

$6 y^{2} y' - x y' - y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (3 x^{2})$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $5$ .

$15 x^{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$6 y^{2} y' - x y' - y = 15 x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$6 y^{2} y' - x y' = 15 x^{2} + y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $6 y^{2} y' - x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $6 y^{2} y'$ .

$y' (6 y^{2}) - x y' = 15 x^{2} + y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y'$ .

$y' (6 y^{2}) + y' (- x) = 15 x^{2} + y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (6 y^{2}) + y' (- x)$ .

$y' (6 y^{2} - x) = 15 x^{2} + y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (6 y^{2} - x) = 15 x^{2} + y$ на $6 y^{2} - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (6 y^{2} - x) = 15 x^{2} + y$ на $6 y^{2} - x$ .

$\frac{y' (6 y^{2} - x)}{6 y^{2} - x} = \frac{15 x^{2}}{6 y^{2} - x} + \frac{y}{6 y^{2} - x}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $6 y^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (6 y^{2} - x)}{6 y^{2} - x} = \frac{15 x^{2}}{6 y^{2} - x} + \frac{y}{6 y^{2} - x}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2}}{6 y^{2} - x} + \frac{y}{6 y^{2} - x}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{15 x^{2} + y}{6 y^{2} - x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{2} + y}{6 y^{2} - x}$