Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Этап 2

Изменим порядок $4 x^{2}$ и $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

Этап 3

Вынесем множитель $4$ из $9 + 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $4$ из $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Этап 3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Этап 3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

Этап 5

Перепишем $\frac{9}{4}$ в виде ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Этап 7.1.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Этап 7.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

Этап 7.1.4

Объединим $x$ и $\frac{2}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

Этап 7.1.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

Этап 7.1.6

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\arctan (\frac{2 x}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

Этап 7.1.7

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ в $t$ и в $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

Этап 7.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.3

Умножим $\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.4

Объединим.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.8

Объединим $- 3$ и $\frac{2 \arctan (0)}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.9

Умножим $2$ на $- 3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.10

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.10.2.4

Разделим $- 2 \arctan (0)$ на $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.11

Умножим $3$ на $4$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

Этап 7.2.2.12

Сократим общий множитель $2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

Этап 7.2.2.12.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

Этап 7.2.2.12.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

Этап 7.2.2.12.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.12.4.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

Этап 7.2.2.12.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

Этап 7.2.2.12.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем член $\frac{1}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

Этап 8.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Этап 8.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Этап 8.4

Подставим $t$ вместо $\frac{2 t}{3}$ и устремим $t$ к $\infty$ , так как $lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Этап 8.5

Предел, когда $t$ стремится к $\infty$ , равен $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Этап 8.6

Найдем предел $\arctan (0)$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

Этап 8.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

Этап 8.7.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

Этап 8.7.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 8.7.3

Умножим $\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.3.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

Этап 8.7.3.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{π}{12}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{12}$

Десятичная форма:

$0.26179938 \dots$