Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt[5]{x + 25} - 2}{x - 7}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt[5]{x + 25} - 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt[5]{x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[5]{7 + 25} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Добавим $7$ и $25$ .

$\frac{\sqrt[5]{32} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Перепишем $32$ в виде $2^{5}$ .

$\frac{\sqrt[5]{2^{5}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 7}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{0}{7 - 1 \cdot 7}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{0}{7 - 7}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $7$ из $7$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt[5]{x + 25} - 2}{x - 7} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt[5]{x + 25} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x + 25}$ в виде ${(x + 25)}^{\frac{1}{5}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 25)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ и $g (x) = x + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 25$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 25$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $x + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [25]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.5

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1 - 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.9.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{- 4}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{- \frac{4}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.12

Объединим $\frac{1}{5}$ и ${(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.13

Умножим $\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5}$ на $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.14

Перенесем ${(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 7} \frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 7} \frac{1}{{(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.4

Вынесем степень $\frac{4}{5}$ в выражении ${(x + 25)}^{\frac{4}{5}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.6

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{5 {(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 4.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{5 {(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $7$ и $25$ .

$\frac{1}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

Этап 4.3.2

Перепишем $32$ в виде $2^{5}$ .

$\frac{1}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 4.3.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5 \cdot 2^{4}}$

Этап 4.3.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{5 \cdot 16}$

Этап 4.4

Умножим $5$ на $16$ .

$\frac{1}{80}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{80}$

Десятичная форма:

$0.0125$