Математический анализ Примеры

$π \int_{0}^{2} {(4 - x^{2})}^{2} d x$

Этап 1

Развернем ${(4 - x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(4 - x^{2})}^{2}$ в виде $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ .

$π \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$π \int_{0}^{2} 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) d x$

Этап 1.5

Перенесем $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

Этап 1.6

Перенесем $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Этап 1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$π \int_{0}^{2} 16 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Этап 1.8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Этап 1.9

Умножим $- 1$ на $4$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Этап 1.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

Этап 1.11

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

Этап 1.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2 + 2} d x$

Этап 1.13

Добавим $2$ и $2$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} d x$

Этап 1.14

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 8 x^{2} + x^{4} d x$

Этап 1.15

Изменим порядок $- 8 x^{2}$ и $x^{4}$ .

$π \int_{0}^{2} 16 + x^{4} - 8 x^{2} d x$

Этап 1.16

Перенесем $16$ .

$π \int_{0}^{2} x^{4} - 8 x^{2} + 16 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$π (\int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Этап 5

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 16 x]_{0}^{2})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$ и $16 x]_{0}^{2}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5} + 16 x]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5} + 16 x$ в $2$ и в $0$ .

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$π (\frac{32}{5} + 16 \cdot 2 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.2

Умножим $16$ на $2$ .

$π (\frac{32}{5} + 32 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{32}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.4

Объединим $32$ и $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{32}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$π (\frac{32 + 32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.6.1

Умножим $32$ на $5$ .

$π (\frac{32 + 160}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.6.2

Добавим $32$ и $160$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.8

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.8.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$π (\frac{192}{5} - (0 + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.9

Умножим $16$ на $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (0 + 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.10

Добавим $0$ и $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (\frac{192}{5} + 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.12

Добавим $\frac{192}{5}$ и $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.13

Возведем $2$ в степень $3$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.14

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 9.2.3.15

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.15.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 9.2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 9.2.3.15.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - 0))$

Этап 9.2.3.16

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} + 0))$

Этап 9.2.3.17

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3}))$

Этап 9.2.3.18

Объединим $- 8$ и $\frac{8}{3}$ .

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 8 \cdot 8}{3})$

Этап 9.2.3.19

Умножим $- 8$ на $8$ .

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 64}{3})$

Этап 9.2.3.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$π (\frac{192}{5} - \frac{64}{3})$

Этап 9.2.3.21

Чтобы записать $\frac{192}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3})$

Этап 9.2.3.22

Чтобы записать $- \frac{64}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 9.2.3.23

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.23.1

Умножим $\frac{192}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 9.2.3.23.2

Умножим $5$ на $3$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 9.2.3.23.3

Умножим $\frac{64}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Этап 9.2.3.23.4

Умножим $3$ на $5$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{15})$

Этап 9.2.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$π \frac{192 \cdot 3 - 64 \cdot 5}{15}$

Этап 9.2.3.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.25.1

Умножим $192$ на $3$ .

$π \frac{576 - 64 \cdot 5}{15}$

Этап 9.2.3.25.2

Умножим $- 64$ на $5$ .

$π \frac{576 - 320}{15}$

Этап 9.2.3.25.3

Вычтем $320$ из $576$ .

$π \frac{256}{15}$

Этап 9.2.3.26

Объединим $π$ и $\frac{256}{15}$ .

$\frac{π \cdot 256}{15}$

Этап 9.2.3.27

Перенесем $256$ влево от $π$ .

$\frac{256 π}{15}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{256 π}{15}$

Десятичная форма:

$53.61651462 \dots$

Этап 11