Математический анализ Примеры

${(1 + \sin (x))}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(1 + \sin (x))}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Этап 4

Развернем ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(1 + \sin (x))}^{2}$ в виде $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\int (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Этап 4.5

Изменим порядок $\sin (x)$ и $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Этап 4.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\int 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Этап 4.7

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Этап 4.8

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Этап 4.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Этап 4.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Этап 4.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Этап 4.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Этап 4.13

Добавим $\sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$\int 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x + C + 2 \int \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Этап 8

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \sin^{2} (x) d x$

Этап 9

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (x)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Этап 11

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Этап 13

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Этап 14

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 14.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 14.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 14.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 15

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 16

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Этап 17

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 18

Упростим.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 19

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Объединим $\sin (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 20.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 20.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 20.4

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 20.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Этап 21

Изменим порядок членов.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Этап 22

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$