Математический анализ Примеры

$y = - 2 \cos (x) + 5$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 2 \cos (x) + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \sin (x) + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $2 \sin (x)$ и $0$ .

$2 \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Этап 2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 \sin (x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 8

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 9

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cos (0)$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 12

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0) + 5$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1 + 5$

Этап 13.2.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (0) = - 2 + 5$

Этап 13.2.2

Добавим $- 2$ и $5$ .

$f (0) = 3$

Этап 13.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 14

Найдем вторую производную в $x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cos (π)$

Этап 15

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 (- \cos (0))$

Этап 15.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 15.3

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot - 1$

Этап 15.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2$

Этап 16

$x = π$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = π$ — локальный максимум

Этап 17

Найдем значение y, если $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = - 2 \cos (π) + 5$

Этап 17.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

$f (π) = - 2 (- \cos (0)) + 5$

Этап 17.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = - 2 (- 1 \cdot 1) + 5$

Этап 17.2.1.3

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = - 2 \cdot - 1 + 5$

Этап 17.2.1.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (π) = 2 + 5$

Этап 17.2.2

Добавим $2$ и $5$ .

$f (π) = 7$

Этап 17.2.3

Окончательный ответ: $7$ .

$y = 7$

Этап 18

Это локальные экстремумы $f (x) = - 2 \cos (x) + 5$ .

$(0, 3)$ — локальный минимум

$(π, 7)$ — локальный максимум

Этап 19