Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Этап 1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Этап 1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Этап 1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Этап 1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Этап 1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Этап 1.2.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Этап 1.3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Этап 1.3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Этап 1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Этап 1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Этап 1.3.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 \cdot 0}$

Этап 1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{0}{3 \ln (1) - 3 \cdot 0}$

Этап 1.3.8.1.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Этап 1.3.8.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Этап 1.3.8.1.4

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.3.8.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.8.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x + 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $3 \ln (x + 1) - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \ln (x + 1)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.7.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.7.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.7.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.7.6

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.7.7

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.7.8

Объединим $3$ и $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot 1}$

Этап 3.8.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}$

Этап 3.9.1.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{- 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Этап 3.9.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Этап 3.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 - 3 (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Этап 3.9.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) + 3 (- (x + 1))}{x + 1}}$

Этап 3.9.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (1) + 3 (- (x + 1))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - (x + 1))}{x + 1}}$

Этап 3.9.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1 \cdot 1)}{x + 1}}$

Этап 3.9.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1)}{x + 1}}$

Этап 3.9.2.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (- x + 0)}{x + 1}}$

Этап 3.9.2.5

Добавим $- x$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 \cdot - 1 x}{x + 1}}$

Этап 3.9.2.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.6.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- (3 x)}{x + 1}}$

Этап 3.9.2.6.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- 3 x}{x + 1}}$

Этап 3.9.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{- \frac{3 x}{x + 1}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Этап 5

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Этап 6

Когда $x$ стремится к $0$ слева, функция неограниченно возрастает.

$\infty$

Этап 7

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Этап 8

Когда $x$ стремится к $0$ справа, функция неограниченно убывает.

$- \infty$

Этап 9

Так как правосторонний и левосторонний пределы не равны, предел не существует.

$Не существует$