Математический анализ Примеры

$\sqrt{2 x + y} = 2 x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + y}$ в виде ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 x$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + y$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Этап 3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Этап 3.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Этап 3.6.3

Перенесем ${(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $2 x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.11

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + y')$

Этап 3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + y')$ .

$(2 + y') \frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.12.2

Умножим $2 + y'$ на $\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части на $2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим $\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + y'}{{(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.3

Сократим общий множитель ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 + y'}{{(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 + y' = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.4

Изменим порядок $2$ и $y'$ .

$y' + 2 = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$y' + 2 = 4 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y' = 4 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2$