Математический анализ Примеры

$\frac{6 t^{2} - 6}{2 t - 4}$

Этап 1

Сократим общий множитель $6 t^{2} - 6$ и $2 t - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2}) - 6}{2 t - 4}]$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2}) + 2 \cdot - 3}{2 t - 4}]$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 t^{2}) + 2 (- 3)$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 t - 4}]$

Этап 1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t) - 4}]$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 t + 2 \cdot - 2}]$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 t + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t - 2)}]$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t - 2)}]$

Этап 1.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d t} [\frac{3 t^{2} - 3}{t - 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = 3 t^{2} - 3$ и $g (t) = t - 2$ .

$\frac{(t - 2) \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 3] - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 t^{2} - 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(t - 2) (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t^{2}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(t - 2) (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(t - 2) (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{(t - 2) (6 t + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t - 2) (6 t + 0) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $6 t$ и $0$ .

$\frac{(t - 2) (6 t) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Перенесем $6$ влево от $t - 2$ .

$\frac{6 \cdot (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $t - 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 3.9

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (1 + 0)}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) \cdot 1}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 3.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(6 t + 6 \cdot - 2) t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 t \cdot t + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 t \cdot t + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{6 (t \cdot t) + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.1.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{6 t^{2} + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{6 t^{2} - 12 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{6 t^{2} - 12 t - 3 t^{2} - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{6 t^{2} - 12 t - 3 t^{2} + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Вычтем $3 t^{2}$ из $6 t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2} - 12 t + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $3$ из $3 t^{2} - 12 t + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 t^{2}$ .

$\frac{3 (t^{2}) - 12 t + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12 t$ .

$\frac{3 (t^{2}) + 3 (- 4 t) + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (t^{2}) + 3 (- 4 t) + 3 (1)}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.5.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (t^{2}) + 3 (- 4 t)$ .

$\frac{3 (t^{2} - 4 t) + 3 (1)}{{(t - 2)}^{2}}$

Этап 4.5.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (t^{2} - 4 t) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (t^{2} - 4 t + 1)}{{(t - 2)}^{2}}$