Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + x^{- 1}}{2 x^{3} + 5}$

Этап 1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

Этап 1.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $5 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

Этап 1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x + 1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

Этап 2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} x + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Этап 2.2

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (x^{1} x^{2}) + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Этап 2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{1 + 2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Этап 2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{5 x^{3} + 1}{x}$ на $\frac{1}{2 x^{3} + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3} + 5)}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3}) + x \cdot 5}$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + x \cdot 5}$

Этап 3.3

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + 5 \cdot x}$

Этап 3.4

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x) + 5 \cdot x}$

Этап 3.4.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x^{1}) + 5 \cdot x}$

Этап 3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{3 + 1} + 5 \cdot x}$

Этап 3.4.3

Добавим $3$ и $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 \cdot x}$

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 x}$

Этап 4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Этап 5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Этап 5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Этап 5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x^{4}}}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

Этап 5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

Этап 5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Этап 5.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Этап 5.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Этап 7

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{4}}$ стремится к $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

Этап 8.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

Этап 8.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 9

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $5 \cdot 0 + 0$ и $2 + 5 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $2$ из $5 \cdot 0$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

Этап 10.1.3

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 2 (0)}{2 + 0 \cdot 5}$

Этап 10.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (5 \cdot 0) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 5}$

Этап 10.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 0 \cdot 5}$

Этап 10.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $0 \cdot 5$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 5)}$

Этап 10.1.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

Этап 10.1.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

Этап 10.1.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

Этап 10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

Этап 10.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 5}$

Этап 10.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $0$ на $5$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Этап 10.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 10.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0$