Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{\infty} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Этап 2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{2}^{t} \frac{1}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = x + 2$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

Этап 3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x + 2$ .

$u_{upper} = t + 2$

Этап 3.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 2$

Этап 3.6

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 2} \frac{1}{u_{1} \ln^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , следовательно $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Этап 4.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Этап 4.3

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Этап 4.4

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Этап 4.5

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем ${u_{2}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 6

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 2}$ по $u_{2}$ имеет вид $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- {u_{2}}^{- 1}]_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)})$

Этап 7

Найдем значение $- {u_{2}}^{- 1}$ в $\ln (t + 2)$ и в $\ln (4)$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4))$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4)$

Этап 8.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t + 2) + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Этап 8.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t + 2)} + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Этап 8.4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{\ln (t + 2)}$ стремится к $0$ .

$5 (- 0 + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Этап 8.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Найдем предел $\ln^{- 1} (4)$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$5 (0 + \ln^{- 1} (4))$

Этап 8.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (0 + \frac{1}{\ln (4)})$

Этап 8.5.2.2

Добавим $0$ и $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$5 \frac{1}{\ln (4)}$

Этап 8.5.2.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{5}{\ln (4)}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{\ln (4)}$

Десятичная форма:

$3.60673760 \dots$