Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2.1.4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\cos (4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2.1.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (4 - (2 lim_{x \to 2} x)) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2.1.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Умножим $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\cos (4 - 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2.3.1.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{\cos (4 - 4) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2.3.1.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2.3.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - 3)}$

Этап 1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3)}$

Этап 1.3.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3)}$

Этап 1.3.1.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3)}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 1 \cdot 3)}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Этап 1.3.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\cos (4 - 2 x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 4 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.3.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $4 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.3.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.3.7

Вычтем $2$ из $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.3.8

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.5

Добавим $2 \sin (4 - 2 x)$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Этап 3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Этап 3.6.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Этап 3.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Этап 3.10

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Этап 3.11

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + 0)}$

Этап 3.12

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \cdot 2}$

Этап 3.13

Объединим $\frac{1}{2 x - 3}$ и $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{2}{2 x - 3}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 2} 2 \sin (4 - 2 x) \frac{2 x - 3}{2}$

Этап 5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{2 x - 3}{2}$ и $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2} \sin (4 - 2 x)$

Этап 5.2

Объединим $\frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2}$ и $\sin (4 - 2 x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

Этап 6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

Этап 6.2

Разделим $(2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} (2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$lim_{x \to 2} 2 x - 3 \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$(lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Этап 9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Этап 10

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Этап 11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - 2 x)$

Этап 12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

Этап 13

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

Этап 14

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

Этап 15

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

Этап 15.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Этап 16

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$(4 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Этап 16.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$(4 - 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Этап 16.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$1 \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Этап 16.3

Умножим $\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$ на $1$ .

$\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Этап 16.4

Умножим $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sin (4 - 2 \cdot 2)$

Этап 16.4.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\sin (4 - 4)$

Этап 16.5

Вычтем $4$ из $4$ .

$\sin (0)$

Этап 16.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0$