Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Этап 1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1)}$

Этап 1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Этап 1.3.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Этап 1.3.1.4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Этап 1.3.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0}{\ln (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

Этап 1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Этап 1.3.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Этап 3.2

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = 2 e^{t} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 e^{t} - 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 e^{t} - 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $2 e^{t} - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Этап 3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 e^{t}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ имеет вид $a^{t} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)}$

Этап 3.8

Добавим $2 e^{t}$ и $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})}$

Этап 3.9

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}}$

Этап 3.10

Объединим $\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ и $e^{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{t \to 0} \cos (t) \frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$

Этап 5

Объединим $\cos (t)$ и $\frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{2 e^{t}}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{e^{t}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) (2 e^{t} - 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Этап 9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Этап 11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Этап 12

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Этап 13

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Этап 14

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Этап 15

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Этап 15.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Этап 15.3

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{0}}$

Этап 16

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим.

$\frac{1 (\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1))}{2 e^{0}}$

Этап 16.2

Умножим $\cos (0)$ на $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 e^{0}}$

Этап 16.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 16.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 16.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 16.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 - 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 16.4.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{\cos (0) \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Этап 16.4.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Этап 16.4.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 16.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$