Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} x^{2} + 3 x - 2 + \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{x - 1}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - 1}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$0^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$0^{2} + 3 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$0^{2} + 3 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Этап 9.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$0^{2} + 3 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + 2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 1}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 3 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + 2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 1}$

Этап 10.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$0 + 0 - 1 \cdot 2 + 2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 1}$

Этап 10.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 + 0 - 2 + 2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 1}$

Этап 10.1.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + 0 - 2 + 2 \frac{0}{0 - 1}$

Этап 10.1.4.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$0 + 0 - 2 + 2 (\frac{0}{- 1})$

Этап 10.1.5

Разделим $0$ на $- 1$ .

$0 + 0 - 2 + 2 \cdot 0$

Этап 10.1.6

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 0 - 2 + 0$

Этап 10.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - 2 + 0$

Этап 10.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2 + 0$

Этап 10.4

Добавим $- 2$ и $0$ .

$- 2$