Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Этап 1

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Этап 2

Перепишем $- 1 u^{3}$ в виде $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - u^{3} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{u^{4}}{4}$ в $\frac{1}{2}$ и в $1$ .

$- ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 6.2

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{4}$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{4}$

Этап 7.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{4}$

Этап 7.2.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1}{4}$

Этап 7.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{4}$

Этап 7.4

Объединим $- 1$ и $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Этап 7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Этап 7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $- 1$ на $16$ .

$- \frac{\frac{1 - 16}{16}}{4}$

Этап 7.6.2

Вычтем $16$ из $1$ .

$- \frac{\frac{- 15}{16}}{4}$

Этап 7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{- \frac{15}{16}}{4}$

Этап 7.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 7.9

Умножим $- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{15}{16}$ .

$- - \frac{15}{4 \cdot 16}$

Этап 7.9.2

Умножим $4$ на $16$ .

$- - \frac{15}{64}$

Этап 7.10

Умножим $- - \frac{15}{64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Этап 7.10.2

Умножим $\frac{15}{64}$ на $1$ .

$\frac{15}{64}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{15}{64}$

Десятичная форма:

$0.234375$