Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

Этап 3

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Этап 3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Этап 3.1.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Этап 3.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Этап 3.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Этап 3.6

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u_{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Этап 5.2

Найдем значение $\frac{u_{2}}{2}$ в $e^{t^{2}}$ и в $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 6

Поскольку функция $\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $2$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 6.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

Этап 6.2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Этап 6.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Этап 6.3

Поскольку показатель степени $t^{2}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{t^{2}}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Этап 6.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Этап 6.4.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

Этап 6.4.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\infty - 1}{2}$

Этап 6.4.3.1.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{2}$

Этап 6.4.3.2

Бесконечность, деленная на любое конечное ненулевое число, есть бесконечность.

$\infty$