Математический анализ Примеры

$\ln (| x^{2} - 1 |)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = | x^{2} - 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $| x^{2} - 1 |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $| x^{2} - 1 |$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 2.2

Производная $| u_{2} |$ по $u_{2}$ равна $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 3

Умножим $\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |}$ на $\frac{1}{| x^{2} - 1 |}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 4

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{x^{2} - 1}{| (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 5

Возведем $x^{2} - 1$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 6

Возведем $x^{2} - 1$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} {(x^{2} - 1)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 9

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + 0)$

Этап 12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x)$

Этап 12.2

Объединим $2$ и $\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} x$

Этап 12.3

Объединим $\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ и $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Этап 13.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Этап 13.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Этап 13.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Этап 13.3.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Этап 13.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$