Математический анализ Примеры

$\int (\frac{- x^{2} + x}{x^{4}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{- x^{2} + x}{x^{4}} d x$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\int \frac{x (- x) + x}{x^{4}} d x$

Этап 2.1.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{x (- x) + x^{1}}{x^{4}} d x$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\int \frac{x (- x) + x \cdot 1}{x^{4}} d x$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x \cdot 1$ .

$\int \frac{x (- x + 1)}{x^{4}} d x$

Этап 2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\int \frac{x (- x + 1)}{x \cdot x^{3}} d x$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x (- x + 1)}{x \cdot x^{3}} d x$

Этап 2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{- x + 1}{x^{3}} d x$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (- x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int (- x + 1) x^{- 3} d x$

Этап 3

Умножим $(- x + 1) x^{- 3}$ .

$\int - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $x^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем $x^{- 3}$ .

$\int - (x^{- 3} x) + 1 x^{- 3} d x$

Этап 4.1.2

Умножим $x^{- 3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int - (x^{- 3} x^{1}) + 1 x^{- 3} d x$

Этап 4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int - x^{- 3 + 1} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 4.1.3

Добавим $- 3$ и $1$ .

$\int - x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 4.2

Умножим $x^{- 3}$ на $1$ .

$\int - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \int x^{- 3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$- - \frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Этап 9.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$