Математический анализ Примеры

$y = arcsec (\cos (2 x))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec (\cos (2 x)))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = arcsec (x)$ и $g (x) = \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 3.1.2

Производная $arcsec (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ и $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \cdot 1$

Этап 3.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок $\cos^{2} (2 x)$ и $- 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 + \cos^{2} (2 x)}}$

Этап 3.4.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) + \cos^{2} (2 x)}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (2 x)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))}}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Этап 3.4.5

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Этап 3.4.6

Применим формулу Пифагора.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- \sin^{2} (2 x)}}$

Этап 3.4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Изменим порядок $- 1$ и $\sin^{2} (2 x)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\sin^{2} (2 x) \cdot - 1}}$

Этап 3.4.7.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) (\sin (2 x) \sqrt{- 1})}$

Этап 3.4.7.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Этап 3.4.8

Сократим общий множитель $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Этап 3.4.8.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{\cos (2 x) i}$

Этап 3.4.9

Разделим дроби.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

Этап 3.4.10

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$- (\frac{2}{i} \sec (2 x))$

Этап 3.4.11

Умножим числитель и знаменатель $\frac{2}{i}$ на комплексно сопряженное $i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i} \sec (2 x))$

Этап 3.4.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Объединим.

$- (\frac{2 i}{i i} \sec (2 x))$

Этап 3.4.12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.2.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i} \sec (2 x))$

Этап 3.4.12.2.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i^{1}} \sec (2 x))$

Этап 3.4.12.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (\frac{2 i}{i^{1 + 1}} \sec (2 x))$

Этап 3.4.12.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{2}} \sec (2 x))$

Этап 3.4.12.2.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- (\frac{2 i}{- 1} \sec (2 x))$

Этап 3.4.13

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 i}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (2 i) \sec (2 x))$

Этап 3.4.14

Перепишем $- 1 \cdot (2 i)$ в виде $- (2 i)$ .

$- (- (2 i) \sec (2 x))$

Этап 3.4.15

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- (- 2 i \sec (2 x))$

Этап 3.4.16

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 i \sec (2 x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 2 i \sec (2 x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 i \sec (2 x)$