Математический анализ Примеры

$\int_{5}^{8} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Этап 1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\int_{5}^{8} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4^{2}}} d x$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4^{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} arcsec (| \frac{x}{4} |)$ .

$\frac{1}{4} arcsec (| \frac{x}{4} |)]_{5}^{8}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $arcsec (| \frac{x}{4} |)$ .

$\frac{arcsec (| \frac{x}{4} |)}{4}]_{5}^{8}$

Этап 3.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем значение $\frac{arcsec (| \frac{x}{4} |)}{4}$ в $8$ и в $5$ .

$(\frac{arcsec (| \frac{8}{4} |)}{4}) - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{arcsec (| \frac{4 \cdot 2}{4} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{arcsec (| \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Этап 3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{arcsec (| \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Этап 3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{arcsec (| \frac{2}{1} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Этап 3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{arcsec (| 2 |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Этап 3.3.2.2

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Этап 3.3.2.3

$\frac{5}{4}$ приблизительно равно $1.25$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{5}{4})}{4}$

Этап 3.3.2.4

Найдем значение $arcsec (\frac{5}{4})$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 1 \cdot 0.6435011}{4}$

Этап 3.3.2.5

Умножим $- 1$ на $0.6435011$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 0.6435011}{4}$

Этап 3.3.3

Вычтем $0.6435011$ из $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0.40369644}{4}$

Этап 3.3.4

Разделим $0.40369644$ на $4$ .

$0.10092411$

Этап 4