Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{4 - \sqrt{x + 15}}{1 - x^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 - \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 4 - lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{4 - lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $15$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{4 - \sqrt{1 + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Добавим $1$ и $15$ .

$\frac{4 - \sqrt{16}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{4 - \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - 1^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{4 - \sqrt{x + 15}}{1 - x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $4 - \sqrt{x + 15}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 15}$ в виде ${(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 15$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 15$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.4

По правилу суммы производная $x + 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [15]))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.6

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.12

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.14

Умножим $\frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.15

Перенесем ${(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $\frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (2 x)}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - 2 x}$

Этап 1.3.9

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

Этап 1.5

Перепишем ${(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x + 15}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 15}} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

Этап 1.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $\frac{1}{- 2 x}$ на $\frac{1}{2 \sqrt{x + 15}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 2 x (2 \sqrt{x + 15})}$

Этап 1.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 4 x \sqrt{x + 15}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{- 4 x \sqrt{x + 15}}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{- 4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{- 4} lim_{x \to 1} \frac{1}{x \sqrt{x + 15}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x + 15}}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x + 15}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}$

Этап 2.6

Внесем предел под знак радикала.

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 15}}$

Этап 2.8

Найдем предел $15$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{1}{4} \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Этап 4.2

Умножим $- - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Этап 4.2.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 15}}$

Этап 4.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $1$ и $15$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{16}}$

Этап 4.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 4.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 4.5

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 4.5.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{16}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{16}$

Десятичная форма:

$0.0625$