Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 9 x^{\frac{4}{5}} d x + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int x^{\frac{4}{5}} d x + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{4}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}}$ .

$9 (\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C) + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$9 (\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 7

Объединим $\frac{5}{9}$ и $x^{\frac{9}{5}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 10.2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 10.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 10.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int x^{- 3} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 12.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Этап 13

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \sqrt{x} d x$

Этап 14

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 15

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Этап 16.2

Упростим.

$5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$