Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2} d x$

Этап 3

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 8 x^{4} + \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 8 x^{4} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int x^{4} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 8.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 8.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{8 x^{5}}{5} + \frac{1}{2} (- x^{- 1}) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- 1}$ .

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{x^{- 1}}{2} + C$

Этап 10.2.2

Перенесем $x^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{1}{2 x} + C$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$\frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2 x} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2 x} + C$