Математический анализ Примеры

$\frac{d f}{d x} = 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 9$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d f = 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d f = \int 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f + C_{1} = \int 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $45$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $45$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 45 \int x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 9 x^{2} + 4$ . Тогда $d u = 18 x d x$ , следовательно $\frac{1}{18} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 9 x^{2} + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $9 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $2$ на $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 x + 0$

Этап 2.3.2.1.4.2

Добавим $18 x$ и $0$ .

$18 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$f + C_{1} = 45 \int \sqrt{u} \frac{1}{18} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{18}$ .

$f + C_{1} = 45 \int \frac{\sqrt{u}}{18} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{18}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{18}$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 45 (\frac{1}{18} \int \sqrt{u} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Объединим $\frac{1}{18}$ и $45$ .

$f + C_{1} = \frac{45}{18} \int \sqrt{u} d u$

Этап 2.3.5.1.2

Сократим общий множитель $45$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$f + C_{1} = \frac{9 (5)}{18} \int \sqrt{u} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$f + C_{1} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f + C_{1} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 2.3.5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$f + C_{1} = \frac{10}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f + C_{1} = \frac{10}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.4

Сократим общий множитель $10$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f + C_{1} = \frac{2 (5)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f + C_{1} = \frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $9 x^{2} + 4$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $9$ вместо $f$ в $f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$9 = \frac{5}{3} {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Этап 4.2.1.2

Умножим $9$ на $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{5}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Этап 4.2.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Этап 4.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 9$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 9$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{3} + K = 9$

Этап 4.2.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{5}{3} \cdot 8 + K = 9$

Этап 4.2.7

Умножим $\frac{5}{3} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $8$ .

$\frac{5 \cdot 8}{3} + K = 9$

Этап 4.2.7.2

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{40}{3} + K = 9$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{40}{3}$ из обеих частей уравнения.

$K = 9 - \frac{40}{3}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$K = 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Этап 4.3.3

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{9 \cdot 3 - 40}{3}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $9$ на $3$ .

$K = \frac{27 - 40}{3}$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $40$ из $27$ .

$K = \frac{- 13}{3}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$K = - \frac{13}{3}$

Этап 5

Подставим $- \frac{13}{3}$ вместо $K$ в $f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- \frac{13}{3}$ вместо $K$ .

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{13}{3}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{5}{3}$ и ${(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f = \frac{5 {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13}{3}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f = \frac{5 {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 13}{3}$