Математический анализ Примеры

$(15 x^{2} y^{2} - y^{4}) d x + (10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2} - y^{4}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $15 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $15 x^{2} y^{2}$ по $y$ равна $15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $15$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{4}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - (4 y^{3})$

Этап 1.4.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - 4 y^{3}$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $10 y$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{3} y$ по $x$ равна $10 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 4 y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x y^{3}$ по $x$ равна $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Этап 2.4.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Этап 2.5

Поскольку $- 5 y^{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 y^{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + 0$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $30 y x^{2} - 4 y^{3}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3}$

Этап 2.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - y^{4} d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Этап 5.2

Поскольку $15 y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $15 y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{4} d x$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{4} x + C$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - y^{4} x + C$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $5 x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $5 y^{2} x^{3}$ по $y$ равна $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Этап 8.3.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Этап 8.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{4} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{4} x$ по $y$ равна $- x \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$10 x^{3} y - x \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Этап 8.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$10 x^{3} y - x (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Этап 8.4.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Этап 8.6

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $10 x^{3} y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y$

Этап 9.1.2

Добавим $4 y^{3} x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$

Этап 9.1.3

Объединим противоположные члены в $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вычтем $10 x^{3} y$ из $10 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 0 + 4 y^{3} x$

Этап 9.1.3.2

Добавим $- 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Этап 9.1.3.3

Изменим порядок множителей в членах $- 4 x y^{3}$ и $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 y^{3} x - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Этап 9.1.3.4

Добавим $- 4 y^{3} x$ и $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4} + 0$

Этап 9.1.3.5

Добавим $- 5 y^{4}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$

Этап 10

Найдем первообразную $- 5 y^{4}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 5 y^{4} d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 5 y^{4} d y$

Этап 10.3

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 5 \int y^{4} d y$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $y^{4}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

Этап 10.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $- 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ в виде $- 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$

Этап 10.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{5}$ .

$g (y) = \frac{- 5}{5} y^{5} + C$

Этап 10.5.2.2

Сократим общий множитель $- 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5} y^{5} + C$

Этап 10.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} y^{5} + C$

Этап 10.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} y^{5} + C$

Этап 10.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{5} + C$

Этап 10.5.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$g (y) = - y^{5} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x - y^{5} + C$