Математический анализ Примеры

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = \sin (8 x)$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $e^{5 x} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{5 x}$ и $g (x) = y$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{5 x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 1.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

Этап 1.6

Умножим $5$ на $1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \cdot 5)$

Этап 1.7

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y' + y (5 e^{5 x})$

Этап 1.8

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y (5 e^{5 x})$

Этап 1.9

Избавимся от скобок.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y \cdot 5 e^{5 x}$

Этап 1.10

Изменим порядок $y$ и $5$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 \cdot y e^{5 x}$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = \sin (8 x)$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int \sin (8 x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$e^{5 x} y = \int \sin (8 x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 8 x$ . Тогда $d u = 8 d x$ , следовательно $\frac{1}{8} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Пусть $u = 8 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Дифференцируем $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.1.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Этап 5.1.1.4

Умножим $8$ на $1$ .

$8$

Этап 5.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{5 x} y = \int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

Этап 5.2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{8}$ .

$e^{5 x} y = \int \frac{\sin (u)}{8} d u$

Этап 5.3

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

Этап 5.4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

Этап 5.5.2

Объединим $\frac{1}{8}$ и $\cos (u)$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (u)}{8} + C$

Этап 5.6

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (8 x)}{8} + C$

Этап 5.7

Изменим порядок членов.

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$

Этап 6

Разделим каждый член $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ на $e^{5 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ на $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $e^{5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Объединим $\cos (8 x)$ и $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (8 x)}{8}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Этап 6.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Этап 6.3.1.3

Умножим $\frac{1}{e^{5 x}}$ на $\frac{\cos (8 x)}{8}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{e^{5 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Этап 6.3.1.4

Перенесем $8$ влево от $e^{5 x}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$