Математический анализ Примеры

$x y d y = (x^{2} + y^{2}) d x$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $(x^{2} + y^{2}) d x$ из обеих частей уравнения.

$x y d y - (x^{2} + y^{2}) d x = 0$

Этап 1.2

Перепишем.

$- (x^{2} + y^{2}) d x + x y d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - (x^{2} + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + y^{2})]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- (x^{2} + y^{2})$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 2.4

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = y$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 2 y = y$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - y}{N}$

Этап 5.3

Подставим $x y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x y$ вместо $N$ .

$\frac{- 2 y - y}{x y}$

Этап 5.3.2

Вычтем $y$ из $- 2 y$ .

$\frac{- 3 y}{x y}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y}{x y}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{x}$

Этап 5.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Этап 6.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 3 \ln (| x |)$ путем переноса $- 3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Этап 6.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $- (x^{2} + y^{2}) d x + x y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- (x^{2} + y^{2})$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(- x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $- x^{2} - y^{2}$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- x^{2} - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Этап 7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - (y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Этап 7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} + y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Этап 7.7

Перепишем $- (x^{2} + y^{2})$ в виде $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Этап 7.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Этап 7.9

Умножим $x y$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Этап 7.10

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Этап 7.10.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Этап 7.10.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Этап 7.10.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 7.11

Объединим $y$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y}{x^{2}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $\frac{1}{x^{2}}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{x^{2}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int y d y$

Этап 9.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 9.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 9.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Этап 9.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Этап 9.3.2.3

Умножим $2$ на $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Этап 9.3.2.4

Объединим $\frac{1}{2 x^{2}}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $\frac{y^{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ по $x$ равна $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.10

Объединим $- 2$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.11

Объединим $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ и $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{2} x^{- 3}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.12

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.13

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 (x^{3})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Добавим $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.3

Объединим противоположные члены в $- y^{2} + x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.1

Добавим $- y^{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} + 0}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2}}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.4.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} = 0$

Этап 13.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} = 0$

Этап 13.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

Этап 13.1.2

Вычтем $\frac{1}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Этап 14

Найдем первообразную $- \frac{1}{x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 14.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Этап 14.5

Упростим.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - \ln (| x |) + C$