Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(2 - y)}^{2}}{2 \sqrt{1 + x}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{{(2 - y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \cdot \frac{{(2 - y)}^{2}}{2 \sqrt{1 + x}}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(2 - y)}^{2}}{{(2 - y)}^{2} (2 \sqrt{1 + x})}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель ${(2 - y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(2 - y)}^{2}}{{(2 - y)}^{2} (2 \sqrt{1 + x})}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}}$

Этап 1.2.3

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{1 + x}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$

Этап 1.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{1 + x}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}}$

Этап 1.2.4.2

Перенесем $\sqrt{1 + x}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x})}$

Этап 1.2.4.3

Возведем $\sqrt{1 + x}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 ({\sqrt{1 + x}}^{1} \sqrt{1 + x})}$

Этап 1.2.4.4

Возведем $\sqrt{1 + x}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 ({\sqrt{1 + x}}^{1} {\sqrt{1 + x}}^{1})}$

Этап 1.2.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 {\sqrt{1 + x}}^{2}}$

Этап 1.2.4.7

Перепишем ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ в виде $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x}$ в виде ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 {(1 + x)}^{1}}$

Этап 1.2.4.7.5

Упростим.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = \int \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 2 - y$ . Тогда $d u_{1} = - d y$ , следовательно $- d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 2 - y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2.2.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2.2.4.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2.2.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}) = \int \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1})$ в виде $- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2.2.6.2.2

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{1 + x}}{2 (1 + x)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{1 + x}}{1 + x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = 1 + x$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Перенесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $u_{2}$ на ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Умножим $u_{2}$ на ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1.1

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.3.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Вынесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 2.3.3.3.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 2.3.3.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = 1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3

Умножим ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2 - y} = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 - y, 1, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$2 - y, 1, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 - y$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{1}{2 - y} = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + K$ умножим на $2 - y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 - y} = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + K$ на $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 - y) + K (2 - y)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 - y) + K (2 - y)$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 - y) + K (2 - y)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (- y) + K (2 - y)$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 = 2 \cdot {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (- y) + K (2 - y)$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 \cdot {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} y + K (2 - y)$

Этап 3.2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} y + K \cdot 2 + K (- y)$

Этап 3.2.3.1.5

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$1 = 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} y + 2 \cdot K + K (- y)$

Этап 3.2.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} y + 2 K - K y$

Этап 3.2.3.2

Изменим порядок множителей в $2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} y + 2 K - K y$ .

$1 = 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + 2 K - K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + 2 K - K y = 1$ .

$2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + 2 K - K y = 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$- y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + 2 K - K y = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $2 K$ из обеих частей уравнения.

$- y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K y = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y (- 1 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}) - K y = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- K y$ .

$y (- 1 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}) + y (- K) = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$

Этап 3.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}) + y (- K)$ .

$y (- 1 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K) = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$

Этап 3.3.4

Перепишем $- 1 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y (- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K) = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$

Этап 3.3.5

Разделим каждый член $y (- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K) = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$ на $- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Разделим каждый член $y (- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K) = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$ на $- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K$ .

$\frac{y (- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K)}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} = \frac{1}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} + \frac{- 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} + \frac{- 2 K}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K}$

Этап 3.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} + \frac{- 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} + \frac{- 2 K}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K}$

Этап 3.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{1}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} - \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} + \frac{- 2 K}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K}$

Этап 3.3.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{1}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} - \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} - \frac{2 K}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K}$

Этап 3.3.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} - \frac{2 K}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + K} - \frac{K}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + K}$