Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - y x = x$ , $y (0) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $y x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} = x + y x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $x + y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + y x$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + y x$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x y$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (1 + y)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x (1 + y))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $1 + y$ из $x (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 + y} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 1 + y$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 1 + y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | 1 + y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Этап 3.3.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} - 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ в виде $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} - 1$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ .

$0 = C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$C e^{\frac{0}{2}} - 1 = 0$

Этап 6.2.2

Разделим $0$ на $2$ .

$C e^{0} - 1 = 0$

Этап 6.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 0$

Этап 6.2.4

Умножим $C$ на $1$ .

$C - 1 = 0$

Этап 6.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$C = 1$

Этап 7

Подставим $1$ вместо $C$ в $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $1$ вместо $C$ .

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Этап 7.2

Умножим $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ на $1$ .

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$