Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 0.05 y (500 - y)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y (500 - y)}$ .

$\frac{1}{y (500 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (500 - y)} (0.05 y (500 - y))$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y (500 - y)} \frac{d y}{d x} = 0.05 \frac{1}{y (500 - y)} (y (500 - y))$

Этап 1.2.2

Объединим $0.05$ и $\frac{1}{y (500 - y)}$ .

$\frac{1}{y (500 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{0.05}{y (500 - y)} (y (500 - y))$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $0.05$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y (500 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{0.05}{y (500 - y)} (y (500 - y))$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y (500 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (500 - y)} \cdot \frac{y (500 - y)}{20}$

Этап 1.2.4

Сократим общий множитель $y (500 - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y (500 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (500 - y)} \cdot \frac{y (500 - y)}{20}$

Этап 1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y (500 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{20}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y (500 - y)} d y = \frac{1}{20} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y (500 - y)} d y = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{500 - y}$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $y (500 - y)$ .

$\frac{1 (y (500 - y))}{y (500 - y)} = \frac{A (y (500 - y))}{y} + \frac{(B) (y (500 - y))}{500 - y}$

Этап 2.2.1.1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y (500 - y))}{y (500 - y)} = \frac{A (y (500 - y))}{y} + \frac{(B) (y (500 - y))}{500 - y}$

Этап 2.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (500 - y)}{500 - y} = \frac{A (y (500 - y))}{y} + \frac{(B) (y (500 - y))}{500 - y}$

Этап 2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $500 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (500 - y)}{500 - y} = \frac{A (y (500 - y))}{y} + \frac{(B) (y (500 - y))}{500 - y}$

Этап 2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (y (500 - y))}{y} + \frac{(B) (y (500 - y))}{500 - y}$

Этап 2.2.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (y (500 - y))}{y} + \frac{(B) (y (500 - y))}{500 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.1.2

Разделим $A (500 - y)$ на $1$ .

$1 = A (500 - y) + \frac{(B) (y (500 - y))}{500 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 500 + A (- y) + \frac{(B) (y (500 - y))}{500 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.3

Перенесем $500$ влево от $A$ .

$1 = 500 \cdot A + A (- y) + \frac{(B) (y (500 - y))}{500 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 500 \cdot A - A y + \frac{(B) (y (500 - y))}{500 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.5

Сократим общий множитель $500 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = 500 A - A y + \frac{B (y (500 - y))}{500 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.5.2

Разделим $(B) (y)$ на $1$ .

$1 = 500 A - A y + (B) (y)$

$1 = 500 A - A y + B y$

Этап 2.2.1.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Перенесем $A$ .

$1 = 500 A - y A + B y$

Этап 2.2.1.1.6.2

Изменим порядок $B$ и $y$ .

$1 = 500 A - y A + B y$

Этап 2.2.1.1.6.3

Перенесем $500 A$ .

$1 = - y A + B y + 500 A$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 500 A$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = 500 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $500 A = 1$ .

$500 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2

Разделим каждый член $500 A = 1$ на $500$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.1

Разделим каждый член $500 A = 1$ на $500$ .

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{500}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $\frac{1}{500}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{500}) + B$

$A = \frac{1}{500}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Перепишем $- 1 (\frac{1}{500})$ в виде $- (\frac{1}{500})$ .

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - \frac{1}{500} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{500} + B = 0$ .

$- \frac{1}{500} + B = 0$

$A = \frac{1}{500}$

Этап 2.2.1.3.3.2

Добавим $\frac{1}{500}$ к обеим частям уравнения.

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

Этап 2.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = \frac{1}{500} A = \frac{1}{500}$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{500}, A = \frac{1}{500}$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y} + \frac{B}{500 - y}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{500}}{y} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - y}$

Этап 2.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{500} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - y}$

Этап 2.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{500}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{500 y} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - y}$

Этап 2.2.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{500 y} + \frac{1}{500} \cdot \frac{1}{500 - y}$

Этап 2.2.1.5.4

Умножим $\frac{1}{500}$ на $\frac{1}{500 - y}$ .

$\int \frac{1}{500 y} + \frac{1}{500 (500 - y)} d y = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{500 y} d y + \int \frac{1}{500 (500 - y)} d y = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{500}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{500}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{500} \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{500 (500 - y)} d y = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{500} (\ln (| y |) + C_{1}) + \int \frac{1}{500 (500 - y)} d y = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2.5

Поскольку $\frac{1}{500}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{500}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{500} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{1}{500 - y} d y = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2.6

Пусть $u = 500 - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Пусть $u = 500 - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.6.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{500} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{500} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{500} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2.9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{500} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- (\ln (| u |) + C_{2})) = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Упростим.

$\frac{1}{500} \ln (| y |) + \frac{1}{500} (- \ln (| u |)) + C_{3} = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2.10.2

Объединим $\frac{1}{500}$ и $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{500} \ln (| y |) - \frac{\ln (| u |)}{500} + C_{3} = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2.11

Заменим все вхождения $u$ на $500 - y$ .

$\frac{1}{500} \ln (| y |) - \frac{\ln (| 500 - y |)}{500} + C_{3} = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.2.12

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{500} \ln (| y |) - \frac{1}{500} \ln (| 500 - y |) + C_{3} = \int \frac{1}{20} d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{500} \ln (| y |) - \frac{1}{500} \ln (| 500 - y |) + C_{3} = \frac{1}{20} x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{500} \ln (| y |) - \frac{1}{500} \ln (| 500 - y |) = \frac{1}{20} x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим выражения в уравнении.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Объединим $\frac{1}{500}$ и $\ln (| y |)$ .

$\frac{\ln (| y |)}{500} - \frac{1}{500} \ln (| 500 - y |) = \frac{1}{20} x + C$

Этап 3.1.1.1.2

Объединим $\ln (| 500 - y |)$ и $\frac{1}{500}$ .

$\frac{\ln (| y |)}{500} - \frac{\ln (| 500 - y |)}{500} = \frac{1}{20} x + C$

Этап 3.1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Объединим $\frac{1}{20}$ и $x$ .

$\frac{\ln (| y |)}{500} - \frac{\ln (| 500 - y |)}{500} = \frac{x}{20} + C$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{\ln (| y |)}{500} - \frac{\ln (| 500 - y |)}{500} = \frac{x}{20} + C$ умножим на $500$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{\ln (| y |)}{500} - \frac{\ln (| 500 - y |)}{500} = \frac{x}{20} + C$ на $500$ .

$\frac{\ln (| y |)}{500} \cdot 500 - \frac{\ln (| 500 - y |)}{500} \cdot 500 = \frac{x}{20} \cdot 500 + C \cdot 500$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (| y |)}{500} \cdot 500 - \frac{\ln (| 500 - y |)}{500} \cdot 500 = \frac{x}{20} \cdot 500 + C \cdot 500$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 500 - y |)}{500} \cdot 500 = \frac{x}{20} \cdot 500 + C \cdot 500$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 500 - y |)}{500}$ в числитель.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 500 - y |)}{500} \cdot 500 = \frac{x}{20} \cdot 500 + C \cdot 500$

Этап 3.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 500 - y |)}{500} \cdot 500 = \frac{x}{20} \cdot 500 + C \cdot 500$

Этап 3.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) - \ln (| 500 - y |) = \frac{x}{20} \cdot 500 + C \cdot 500$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $20$ из $500$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 500 - y |) = \frac{x}{20} \cdot (20 (25)) + C \cdot 500$

Этап 3.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) - \ln (| 500 - y |) = \frac{x}{20} \cdot (20 \cdot 25) + C \cdot 500$

Этап 3.2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) - \ln (| 500 - y |) = x \cdot 25 + C \cdot 500$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $25$ влево от $x$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 500 - y |) = 25 \cdot x + C \cdot 500$

Этап 3.2.3.1.3

Перенесем $500$ влево от $C$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 500 - y |) = 25 x + 500 C$

Этап 3.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 500 - y |}) = 25 x + 500 C$

Этап 3.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 500 - y |})} = e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.5

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| 500 - y |}) = 25 x + 500 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{25 x + 500 C} = \frac{| y |}{| 500 - y |}$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| 500 - y |} = e^{25 x + 500 C}$ .

$\frac{| y |}{| 500 - y |} = e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.2

Умножим обе части на $| 500 - y |$ .

$\frac{| y |}{| 500 - y |} | 500 - y | = e^{25 x + 500 C} | 500 - y |$

Этап 3.6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Сократим общий множитель $| 500 - y |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| 500 - y |} | 500 - y | = e^{25 x + 500 C} | 500 - y |$

Этап 3.6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{25 x + 500 C} | 500 - y |$

Этап 3.6.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{25 x + 500 C} | 500 - y | = | y |$ .

$e^{25 x + 500 C} | 500 - y | = | y |$

Этап 3.6.4.2

Разделим каждый член $e^{25 x + 500 C} | 500 - y | = | y |$ на $e^{25 x + 500 C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.1

Разделим каждый член $e^{25 x + 500 C} | 500 - y | = | y |$ на $e^{25 x + 500 C}$ .

$\frac{e^{25 x + 500 C} | 500 - y |}{e^{25 x + 500 C}} = \frac{| y |}{e^{25 x + 500 C}}$

Этап 3.6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{25 x + 500 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{25 x + 500 C} | 500 - y |}{e^{25 x + 500 C}} = \frac{| y |}{e^{25 x + 500 C}}$

Этап 3.6.4.2.2.1.2

Разделим $| 500 - y |$ на $1$ .

$| 500 - y | = \frac{| y |}{e^{25 x + 500 C}}$

Этап 3.6.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$500 - y = \frac{y}{e^{25 x + 500 C}}$

$500 - y = - \frac{y}{e^{25 x + 500 C}}$

$- (500 - y) = \frac{y}{e^{25 x + 500 C}}$

$- (500 - y) = - \frac{y}{e^{25 x + 500 C}}$

Этап 3.6.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$500 - y = \frac{y}{e^{25 x + 500 C}}$

$500 - y = - \frac{y}{e^{25 x + 500 C}}$

Этап 3.6.4.5

Решим $500 - y = \frac{y}{e^{25 x + 500 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.1

Умножим обе части на $e^{25 x + 500 C}$ .

$(500 - y) e^{25 x + 500 C} = \frac{y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1

Упростим $(500 - y) e^{25 x + 500 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$500 e^{25 x + 500 C} - y e^{25 x + 500 C} = \frac{y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.1

Изменим порядок $25 x$ и $500 C$ .

$500 e^{500 C + 25 x} - y e^{25 x + 500 C} = \frac{y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.2

Изменим порядок $25 x$ и $500 C$ .

$500 e^{500 C + 25 x} - y e^{500 C + 25 x} = \frac{y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.3

Изменим порядок $500 e^{500 C + 25 x}$ и $- y e^{500 C + 25 x}$ .

$- y e^{500 C + 25 x} + 500 e^{500 C + 25 x} = \frac{y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{25 x + 500 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$- y e^{500 C + 25 x} + 500 e^{500 C + 25 x} = \frac{y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- y e^{500 C + 25 x} + 500 e^{500 C + 25 x} = y$

Этап 3.6.4.5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- y e^{500 C + 25 x} + 500 e^{500 C + 25 x} - y = 0$

Этап 3.6.4.5.3.2

Вычтем $500 e^{500 C + 25 x}$ из обеих частей уравнения.

$- y e^{500 C + 25 x} - y = - 500 e^{500 C + 25 x}$

Этап 3.6.4.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{500 C + 25 x} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{500 C + 25 x}$ .

$y (- 1 e^{500 C + 25 x}) - y = - 500 e^{500 C + 25 x}$

Этап 3.6.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (- 1 e^{500 C + 25 x}) + y \cdot - 1 = - 500 e^{500 C + 25 x}$

Этап 3.6.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 e^{500 C + 25 x}) + y \cdot - 1$ .

$y (- 1 e^{500 C + 25 x} - 1) = - 500 e^{500 C + 25 x}$

Этап 3.6.4.5.3.4

Перепишем $- 1 e^{500 C + 25 x}$ в виде $- e^{500 C + 25 x}$ .

$y (- e^{500 C + 25 x} - 1) = - 500 e^{500 C + 25 x}$

Этап 3.6.4.5.3.5

Разделим каждый член $y (- e^{500 C + 25 x} - 1) = - 500 e^{500 C + 25 x}$ на $- e^{500 C + 25 x} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.1

Разделим каждый член $y (- e^{500 C + 25 x} - 1) = - 500 e^{500 C + 25 x}$ на $- e^{500 C + 25 x} - 1$ .

$\frac{y (- e^{500 C + 25 x} - 1)}{- e^{500 C + 25 x} - 1} = \frac{- 500 e^{500 C + 25 x}}{- e^{500 C + 25 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.2.1

Сократим общий множитель $- e^{500 C + 25 x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- e^{500 C + 25 x} - 1)}{- e^{500 C + 25 x} - 1} = \frac{- 500 e^{500 C + 25 x}}{- e^{500 C + 25 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 500 e^{500 C + 25 x}}{- e^{500 C + 25 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{- e^{500 C + 25 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{500 C + 25 x}$ .

$y = - \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{- e^{500 C + 25 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = - \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{- e^{500 C + 25 x} - 1 (1)}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{500 C + 25 x} - 1 (1)$ .

$y = - \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{- (e^{500 C + 25 x} + 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.3.5.1

Перепишем $- (e^{500 C + 25 x} + 1)$ в виде $- 1 (e^{500 C + 25 x} + 1)$ .

$y = - \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{- 1 (e^{500 C + 25 x} + 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} + 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} + 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.5.4

Умножим $\frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} + 1}$ на $1$ .

$y = \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} + 1}$

Этап 3.6.4.6

Решим $500 - y = - \frac{y}{e^{25 x + 500 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.1

Умножим обе части на $e^{25 x + 500 C}$ .

$(500 - y) e^{25 x + 500 C} = - \frac{y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1

Упростим $(500 - y) e^{25 x + 500 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$500 e^{25 x + 500 C} - y e^{25 x + 500 C} = - \frac{y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.1

Изменим порядок $25 x$ и $500 C$ .

$500 e^{500 C + 25 x} - y e^{25 x + 500 C} = - \frac{y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.2

Изменим порядок $25 x$ и $500 C$ .

$500 e^{500 C + 25 x} - y e^{500 C + 25 x} = - \frac{y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.3

Изменим порядок $500 e^{500 C + 25 x}$ и $- y e^{500 C + 25 x}$ .

$- y e^{500 C + 25 x} + 500 e^{500 C + 25 x} = - \frac{y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{25 x + 500 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{e^{25 x + 500 C}}$ в числитель.

$- y e^{500 C + 25 x} + 500 e^{500 C + 25 x} = \frac{- y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$- y e^{500 C + 25 x} + 500 e^{500 C + 25 x} = \frac{- y}{e^{25 x + 500 C}} e^{25 x + 500 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- y e^{500 C + 25 x} + 500 e^{500 C + 25 x} = - y$

Этап 3.6.4.6.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$- y e^{500 C + 25 x} + 500 e^{500 C + 25 x} + y = 0$

Этап 3.6.4.6.3.2

Вычтем $500 e^{500 C + 25 x}$ из обеих частей уравнения.

$- y e^{500 C + 25 x} + y = - 500 e^{500 C + 25 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{500 C + 25 x} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{500 C + 25 x}$ .

$y (- 1 e^{500 C + 25 x}) + y = - 500 e^{500 C + 25 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y (- 1 e^{500 C + 25 x}) + y = - 500 e^{500 C + 25 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y (- 1 e^{500 C + 25 x}) + y \cdot 1 = - 500 e^{500 C + 25 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 e^{500 C + 25 x}) + y \cdot 1$ .

$y (- 1 e^{500 C + 25 x} + 1) = - 500 e^{500 C + 25 x}$

Этап 3.6.4.6.3.4

Перепишем $- 1 e^{500 C + 25 x}$ в виде $- e^{500 C + 25 x}$ .

$y (- e^{500 C + 25 x} + 1) = - 500 e^{500 C + 25 x}$

Этап 3.6.4.6.3.5

Разделим каждый член $y (- e^{500 C + 25 x} + 1) = - 500 e^{500 C + 25 x}$ на $- e^{500 C + 25 x} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.5.1

Разделим каждый член $y (- e^{500 C + 25 x} + 1) = - 500 e^{500 C + 25 x}$ на $- e^{500 C + 25 x} + 1$ .

$\frac{y (- e^{500 C + 25 x} + 1)}{- e^{500 C + 25 x} + 1} = \frac{- 500 e^{500 C + 25 x}}{- e^{500 C + 25 x} + 1}$

Этап 3.6.4.6.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.5.2.1

Сократим общий множитель $- e^{500 C + 25 x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- e^{500 C + 25 x} + 1)}{- e^{500 C + 25 x} + 1} = \frac{- 500 e^{500 C + 25 x}}{- e^{500 C + 25 x} + 1}$

Этап 3.6.4.6.3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 500 e^{500 C + 25 x}}{- e^{500 C + 25 x} + 1}$

Этап 3.6.4.6.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{- e^{500 C + 25 x} + 1}$

Этап 3.6.4.6.3.5.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{500 C + 25 x}$ .

$y = - \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{- e^{500 C + 25 x} + 1}$

Этап 3.6.4.6.3.5.3.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y = - \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{- e^{500 C + 25 x} - 1 (- 1)}$

Этап 3.6.4.6.3.5.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{500 C + 25 x} - 1 (- 1)$ .

$y = - \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{- (e^{500 C + 25 x} - 1)}$

Этап 3.6.4.6.3.5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.5.3.5.1

Перепишем $- (e^{500 C + 25 x} - 1)$ в виде $- 1 (e^{500 C + 25 x} - 1)$ .

$y = - \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{- 1 (e^{500 C + 25 x} - 1)}$

Этап 3.6.4.6.3.5.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} - 1}$

Этап 3.6.4.6.3.5.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} - 1}$

Этап 3.6.4.6.3.5.3.5.4

Умножим $\frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} - 1}$ на $1$ .

$y = \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} - 1}$

Этап 3.6.4.7

Перечислим все решения.

$y = \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} + 1}$

$y = \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} - 1}$

$y = \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} + 1}$

$y = \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} - 1}$

$y = \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} + 1}$

$y = \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} - 1}$

$y = \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} + 1}$

$y = \frac{500 e^{500 C + 25 x}}{e^{500 C + 25 x} - 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{500 e^{C + 25 x}}{e^{C + 25 x} + 1}$

$y = \frac{500 e^{C + 25 x}}{e^{C + 25 x} - 1}$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{500 e^{25 x + C}}{e^{C + 25 x} + 1}$

$y = \frac{500 e^{C + 25 x}}{e^{C + 25 x} - 1}$

Этап 4.3

Перепишем $e^{25 x + C}$ в виде $e^{25 x} e^{C}$ .

$y = \frac{500 (e^{25 x} e^{C})}{e^{C + 25 x} + 1}$

$y = \frac{500 e^{C + 25 x}}{e^{C + 25 x} - 1}$

Этап 4.4

Изменим порядок $e^{25 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{C + 25 x} + 1}$

$y = \frac{500 e^{C + 25 x}}{e^{C + 25 x} - 1}$

Этап 4.5

Изменим порядок членов.

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{25 x + C} + 1}$

$y = \frac{500 e^{C + 25 x}}{e^{C + 25 x} - 1}$

Этап 4.6

Перепишем $e^{25 x + C}$ в виде $e^{25 x} e^{C}$ .

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{25 x} e^{C} + 1}$

$y = \frac{500 e^{C + 25 x}}{e^{C + 25 x} - 1}$

Этап 4.7

Изменим порядок $e^{25 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{C} e^{25 x} + 1}$

$y = \frac{500 e^{C + 25 x}}{e^{C + 25 x} - 1}$

Этап 4.8

Изменим порядок членов.

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{C} e^{25 x} + 1}$

$y = \frac{500 e^{25 x + C}}{e^{C + 25 x} - 1}$

Этап 4.9

Перепишем $e^{25 x + C}$ в виде $e^{25 x} e^{C}$ .

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{C} e^{25 x} + 1}$

$y = \frac{500 (e^{25 x} e^{C})}{e^{C + 25 x} - 1}$

Этап 4.10

Изменим порядок $e^{25 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{C} e^{25 x} + 1}$

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{C + 25 x} - 1}$

Этап 4.11

Изменим порядок членов.

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{C} e^{25 x} + 1}$

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{25 x + C} - 1}$

Этап 4.12

Перепишем $e^{25 x + C}$ в виде $e^{25 x} e^{C}$ .

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{C} e^{25 x} + 1}$

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{25 x} e^{C} - 1}$

Этап 4.13

Изменим порядок $e^{25 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{C} e^{25 x} + 1}$

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{C} e^{25 x} - 1}$

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{C} e^{25 x} + 1}$

$y = \frac{500 (e^{C} e^{25 x})}{e^{C} e^{25 x} - 1}$