Математический анализ Примеры

$4 x^{2} + 5 y \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$ на $5 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$ на $5 y$ .

$\frac{5 y \frac{d y}{d x}}{5 y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y \frac{d y}{d x}}{5 y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{4 x^{2}}{5 y})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $5 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{y \cdot 5}$

Этап 1.3.2.3

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{y \cdot 5}$

Этап 1.3.2.4

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{5}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$y d y = - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{4}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{4}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{4}{5} \int x^{2} d x)$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- \frac{4}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{4}{5}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 \cdot 5} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{15} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{4}{15} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{4}{15}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3} \cdot 4}{15} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перенесем $4$ влево от $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $2 (- \frac{4 x^{3}}{15})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{4 x^{3}}{15} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{4 x^{3}}{15}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 (4 x^{3})}{15} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$y^{2} = \frac{- 8 x^{3}}{15} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{8 x^{3}}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K \cdot \frac{15}{15})}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $K$ и $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + \frac{K \cdot 15}{15})}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 4 x^{3} + K \cdot 15}{15}}$

Этап 3.4.4

Перенесем $15$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 4 x^{3} + 15 K}{15}}$

Этап 3.4.5

Объединим $2$ и $\frac{- 4 x^{3} + 15 K}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}{15}}$

Этап 3.4.6

Перепишем $\sqrt{\frac{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}{15}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$

Этап 3.4.7

Умножим $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Этап 3.4.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Этап 3.4.8.2

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Этап 3.4.8.3

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Этап 3.4.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Этап 3.4.8.6

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{1}}$

Этап 3.4.8.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15}$

Этап 3.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K) \cdot 15}}{15}$

Этап 3.4.9.2

Умножим $15$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + K)}}{15}$