Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{2 - x^{3}}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.4

Умножим $- x^{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

Этап 2.3.2.2.4.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

Этап 2.3.3

Пусть $u = - 2 + x^{3}$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Пусть $u = - 2 + x^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Дифференцируем $- 2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

Этап 2.3.3.1.2

По правилу суммы производная $- 2 + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.3.1.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.3.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Этап 2.3.3.1.5

Добавим $0$ и $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Этап 2.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 2.3.4

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 2.3.5

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.6.2

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.6.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

Этап 2.3.7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.8

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.9

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 + x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ .

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ в виде $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

Этап 6.2.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

Этап 6.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

Этап 6.2.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

Этап 6.3

Разделим каждый член $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ на $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ на $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ .

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Этап 6.3.2.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Этап 7

Подставим $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ вместо $C$ в $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ вместо $C$ .

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ и $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ из $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Этап 7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Этап 7.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Этап 7.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

Этап 7.4.4

Разделим $e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ на $1$ .

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

Этап 7.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

Этап 7.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

Этап 7.5.2

Умножим $e^{- 2 + x^{3}}$ на $e^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

Этап 7.5.2.2

Объединим противоположные члены в $- 2 + x^{3} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

Этап 7.5.2.2.2

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$