Математический анализ Примеры

$x d y = (x \sin (x) - y) d x$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $(x \sin (x) - y) d x$ из обеих частей уравнения.

$x d y - (x \sin (x) - y) d x = 0$

Этап 1.2

Перепишем.

$- (x \sin (x) - y) d x + x d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - (x \sin (x) - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x \sin (x) - y)]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- (x \sin (x) - y)$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [x \sin (x) - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x \sin (x) - y]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x \sin (x) - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 2.4

Поскольку $x \sin (x)$ является константой относительно $y$ , производная $x \sin (x)$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.7.2

Умножим $\frac{d}{d y} [y]$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Этап 4.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$1 = 1$ является тождеством.

Этап 5

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Этап 6

Проинтегрируем $N (x, y) = x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x y + C$

Этап 7

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

Этап 8

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (x \sin (x) - y)$

Этап 9

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Этап 9.2

По правилу суммы производная $x y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Этап 9.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Этап 9.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Этап 9.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = - (x \sin (x) - y)$

Этап 9.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x) - y)$

Этап 10

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Упростим $- (x \sin (x) - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1.1

Перепишем.

$\frac{d g}{d x} + y = 0 + 0 - (x \sin (x) - y)$

Этап 10.1.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x) - y)$

Этап 10.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x)) - - y$

Этап 10.1.1.1.4

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y = - x \sin (x) + 1 y$

Этап 10.1.1.1.4.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y = - x \sin (x) + y$

Этап 10.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + y - y$

Этап 10.1.2.2

Объединим противоположные члены в $- x \sin (x) + y - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.2.1

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

Этап 10.1.2.2.2

Добавим $- x \sin (x)$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

Этап 11

Найдем первообразную $- x \sin (x)$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

Этап 11.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

Этап 11.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

Этап 11.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Этап 11.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Этап 11.6.2

Умножим $\int \cos (x) d x$ на $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Этап 11.7

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

Этап 11.8

Перепишем $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ в виде $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Этап 12

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Этап 13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = x y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Этап 13.2

Умножим $- (- x \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x, y) = x y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Этап 13.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (x, y) = x y + x \cos (x) - \sin (x) + C$