Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x e^{x}$ , $y (1) = e - 1$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x e^{x}$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x e^{x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 1}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Этап 3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Этап 3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Этап 3.2.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Этап 3.2.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Этап 3.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Этап 3.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (e^{x}))$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = e^{x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = e^{x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x} y = \int e^{x} d x$

Этап 7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\frac{1}{x} y = e^{x} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{y}{x} = e^{x} + C$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (e^{x} + C) x$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (e^{x} + C) x$

Этап 8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (e^{x} + C) x$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $(e^{x} + C) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = e^{x} x + C x$

Этап 8.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{x} x + C x$ .

$y = x e^{x} + C x$

Этап 8.3.2.1.2.2

Изменим порядок $x e^{x}$ и $C x$ .

$y = C x + x e^{x}$

Этап 9

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $e - 1$ вместо $y$ в $y = C x + x e^{x}$ .

$e - 1 = C \cdot 1 + 1 e^{1}$

Этап 10

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $C \cdot 1 + 1 e^{1} = e - 1$ .

$C \cdot 1 + 1 e = e - 1$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $C$ на $1$ .

$C + 1 e^{1} = e - 1$

Этап 10.2.2

Умножим $e^{1}$ на $1$ .

$C + e^{1} = e - 1$

Этап 10.2.3

Упростим.

$C + e = e - 1$

Этап 10.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вычтем $e$ из обеих частей уравнения.

$C = e - 1 - e$

Этап 10.3.2

Вычтем $e$ из $e$ .

$C = 0 - 1$

Этап 10.3.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$C = - 1$

Этап 11

Подставим $- 1$ вместо $C$ в $y = C x + x e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим $- 1$ вместо $C$ .

$y = - 1 x + x e^{x}$

Этап 11.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x + x e^{x}$