Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2}$ , $y (1) = 5$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = x^{5} - 5$ . Тогда $d u = 5 x^{4} d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = x^{5} - 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x^{5} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 5]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x^{5} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$5 x^{4}$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $5$ на $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5} - 5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $x$ и $5$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ .

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 5)}^{3} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 5)}^{3} + K = 5$

Этап 4.2.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(- 4)}^{3} + K = 5$

Этап 4.2.3

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$\frac{1}{15} \cdot - 64 + K = 5$

Этап 4.2.4

Объединим $\frac{1}{15}$ и $- 64$ .

$\frac{- 64}{15} + K = 5$

Этап 4.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{64}{15} + K = 5$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $\frac{64}{15}$ к обеим частям уравнения.

$K = 5 + \frac{64}{15}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{64}{15}$

Этап 4.3.3

Объединим $5$ и $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{64}{15}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{5 \cdot 15 + 64}{15}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $5$ на $15$ .

$K = \frac{75 + 64}{15}$

Этап 4.3.5.2

Добавим $75$ и $64$ .

$K = \frac{139}{15}$

Этап 5

Подставим $\frac{139}{15}$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{139}{15}$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + \frac{139}{15}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $5$ на $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.2.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.2.3

Умножим $- 5$ на $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.2.4

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 25 + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.2.5

Умножим $25$ на $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.2.6

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} - 125) + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим $\frac{1}{15}$ и $x^{15}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.4.2

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вынесем множитель $15$ из $- 15 x^{10}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Вынесем множитель $15$ из $75 x^{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.4.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.4.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.4.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 (3)} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.4.4.2

Вынесем множитель $5$ из $- 125$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.4.4.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.4.4.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{3} \cdot - 25 + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.4.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 25$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25}{3} + \frac{139}{15}$

Этап 5.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} + \frac{139}{15}$

Этап 5.3

Чтобы записать $- \frac{25}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{139}{15}$

Этап 5.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{25}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{139}{15}$

Этап 5.4.2

Умножим $3$ на $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{15} + \frac{139}{15}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25 \cdot 5 + 139}{15}$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $- 25$ на $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 125 + 139}{15}$

Этап 5.6.2

Добавим $- 125$ и $139$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{14}{15}$